Taula de continguts
L’aprenentatge del pensament multiplicatiu és un dels reptes als quals s’enfronten alumnes i professors durant tot el cicle mitjà de primària, i té continuïtat al cicle superior i més enllà. En aquest article, us presentem la seqüència didàctica que proposem a Innovamat.
De la mateixa manera que, en una entrada anterior del blog, parlàvem del pensament additiu i revisàvem les càpsules relacionades amb la suma i la resta, avui ens endinsem en la multiplicació i la divisió.
De la mà de Cecília Calvo i la resta de l’equip didàctic analitzem, una a una, les decisions que hi ha darrere de la seqüència didàctica. D’alguna manera, sintetitzem el contingut de les càpsules de formació 10, 11, 14 i 15:
→ C10 – Les taules de multiplicar
→ C11 – El model rectangular de la multiplicació
→ C14 – La divisió: repartir o fer grups
→ C15 – L’algoritme de la divisió
Construcció de les taules: del model de suma iterada al model rectangular
En aquesta càpsula desenvolupem extensament el procediment mitjançant el qual els alumnes aprenen les taules de multiplicar.
El procés d’aprenentatge de les multiplicacions de nombres més petits que 10, que tradicionalment anomenem taules de multiplicar, és lent i ens ocuparà tot el cicle mitjà. Els alumnes han assentat les bases del pensament multiplicatiu al primer cicle de primària, quan fan dobles i meitats i quan compten objectes agrupats. No és fins a cicle mitjà, però, que construïm les taules i, després, practiquem de manera productiva per automatitzar-les.
Defugim, d’inici, que l’estratègia per aprendre-les sigui la memorització per repetició. El procés d’aprenentatge es fa en 3 fases:
- Construïm les taules
- Les analitzem buscant patrons i relacions
- Iniciem la pràctica productiva per automatitzar-les.
Més enllà d’aquestes fases, convé fer diverses consideracions.
En primer lloc, posem l’alumne en una situació que reconeix (comptar potes de gallines, rodes de cotxe, dits de la mà, etc.), sense vincular-la explícitament a cap taula de multiplicar i sempre enunciant el nombre que es repeteix en segon lloc (per exemple, 3 gallines amb 2 potes, 5 gallines amb 2 potes, 3 cotxes amb 4 rodes, etc.)
Per afavorir la construcció de les taules i no l’aprenentatge memorístic d’inici, les presentem sense l’ordre ascendent tradicional (1 × 3, 2 × 3, 3 × 3, 4 × 3…), ordenades segons les habilitats de comptatge que haurien de tenir assolides els infants en cada cas. D’aquesta manera, comencem per la taula del 2, seguida de la del 5, i les vinculem al comptatge rítmic de 2 en 2 o de 5 en 5 (destreses que ja s’han treballat força al primer cicle). Seguim amb la del 4, els resultats de la qual són el doble dels resultats de la taula del 2; la del 8, amb els dobles de la del 4; la del 3, amb els resultats de la taula del 2 més una unitat en cada grup; la del 6, amb els dobles de la del 3; la del 9, a partir de la taula del 10 menys una unitat a cada grup, i finalment construïm la del 7, que ja està construïda en els resultats «× 7» de les altres taules, gràcies a la propietat commutativa, i que podem acabar de formalitzar a partir de la taula del 5 si sumem 2 a cada grup.
Com ja hem dit, el primer contacte amb cadascuna de les taules tampoc és endreçat ni en ordre ascendent, per poder descobrir patrons diversos i, després, establir relacions amb altres taules.
La regla del 0 i el model rectangular
La suma iterada de grups amb la mateixa quantitat d’elements ens porta a un model d’agrupacions d’objectes quotidians que ens serveix per al comptatge en els primers estadis del pensament multiplicatiu, però té un recorregut curt. Si no el complementem amb el model rectangular o d’àrea (és a dir, entendre la multiplicació com una manera de comptar més ràpidament elements situats de manera rectangular i vincular-ho amb el càlcul d’àrees) es fa difícil evidenciar amb els alumnes la propietat commutativa de la multiplicació.
En termes d’eficiència i quan els factors són nombres més grans que la desena, entra en joc la regla de zero (volem que l’alumne entengui que multiplicar per 10 és com afegir un 0 al nombre que estem multiplicant, i es fa un treball específic per aconseguir-ho).
Un cop treballat el model rectangular, convidem els alumnes al pas següent en el procés d’abstracció: els presentem l’esquema multiplicatiu com a representació del model rectangular. A la càpsula C11 expliquem el procés en detall.
Malgrat que ja s’han establert les bases de la divisió a primer cicle fent meitats i repartiments, ara, un cop assentades les bases de la multiplicació, comencem un treball més profund de la divisió.
Tipus de situacions en què intervé la divisió
Seguim insistint en la idea que l’aprenentatge de les operacions bàsiques no té només a veure amb l’aprenentatge de l’execució de l’algoritme. És per això que el primer que hem d’assenyalar és que la divisió ens permet resoldre dos tipus de contextos diferents. Encara que l’operació que es fa és la mateixa, no ho és el context en què s’aplica, i això és rellevant a l’hora d’entendre el procés.
- Divisió partitiva: Situacions de repartiment, en què coneixem el nombre d’elements que hem de repartir i el nombre de grups, i el quocient és el nombre d’elements de cada grup. Per exemple: tinc 27 llapis a repartir entre 4 persones.
- Divisió quotativa: Situacions d’agrupament, en què coneixem el nombre total d’elements que hem d’agrupar i el nombre d’elements que ha de tenir cada grup, i volem saber quants grups podrem fer. Per exemple: tinc 27 llapis i vull fer paquets de 4 llapis.
La importància del residu
Una altra idea en la qual aprofundim a les càpsules és la importància del residu: en les situacions quotidianes que plantegem hi apareix de manera natural. Tant és així, que el residu pot ser la resposta a una situació en què ens demanen quants dels elements no s’han pogut agrupar o repartir. El concepte de residu ens permetrà, també, establir connexions amb la divisibilitat durant el cicle superior.
Construcció de l’algoritme de la divisió
Reconeixem que l’algoritme és una eina potent, però sabem que presentat massa aviat produeix passivitat cognitiva i interfereix en el desenvolupament de les destreses necessàries per al càlcul mental dels alumnes. Per això, abans de la presentació de l’algoritme, basem el càlcul en la relació que hi ha entre la divisió i la multiplicació, treballem amb capsetes multiplicatives i desenvolupem altres estratègies de càlcul com les deduccions entre fets coneguts i fets derivats.
En darrer terme, explorem la descomposició del dividend en factors, que no sempre serà una descomposició decimal sinó que serà una divisió en funció del divisor. Tot aquest treball és bàsic per construir l’algoritme amb solidesa.
Així doncs, basem la construcció de l’algoritme en el model de repartiments. Insistim en la idea de repartir quantitats, i no dígits, amb repartiments consensuats i flexibles.
Ens agrada veure com, d’aquesta manera, no hi ha cap discontinuïtat entre la divisió amb un divisor d’una xifra i la de dues xifres, i tampoc en el salt cap a fer la divisió decimal.
