Una eina per transformar la teva aula de matemàtiques
És evident que mai no plantejaríem una multiplicació a un alumne que encara no sap sumar. Quan examinem la qüestió una mica més de prop, veiem que multiplicar consisteix a sumar de manera iterada un mateix número i que, per consegüent, requereix haver comprès què vol dir sumar. I és que l’aprenentatge de les matemàtiques, especialment dins del sentit numèric, té una naturalesa seqüenciada: per comprendre un nou concepte, hem de sustentar-nos en el treball fet prèviament, construint maó sobre maó.
Trajectòries d’aprenentatge matemàtic
En aquest sentit, podem intuir que, sota el núvol de conceptes i habilitats matemàtiques que coneixem, existeix un esquelet, una estructura que seqüencia les habilitats que un alumne pot anar aprenent. És aquí on neixen les trajectòries d’aprenentatge, un concepte que ha anat prenent forma en articles i revistes especialitzades en didàctica durant els últims 25 anys i que ha mostrat el seu potencial transformador. I és que definir trajectòries d’aprenentatge és una actuació que incideix sobre els dos agents principals en educació: alumnes i docents. Com a docents, conèixer l’evolució d’una habilitat matemàtica ens permet saber quins passos és probable que hagi recorregut un alumne per arribar on és, alhora que ens fa conscients del que podria aprendre des d’aquest punt. D’aquesta manera, podem prendre decisions didàctiques més convenients i documentades. Si acompanyem aquestes trajectòries de tasques específiques associades a cada etapa de l’aprenentatge, estem davant una eina d‘avaluació formativa fantàstica (Morales & Fernández, 2022). De fet, diversos estudis parlen de l’èxit de les trajectòries d’aprenentatge com a eina formativa per al professorat (Wilson, 2013; Sarama, 2017), com a eina per a millorar l’aprenentatge matemàtic de l’alumnat (Clements, 2011; Alsina 2022) i com a pedra angular d’un marc teòric per a la docència basada en recerca (Sztajn, 2012).
Seqüència didàctica d’Innovamat
Generalment, les trajectòries d’aprenentatge s’han construït per a un conjunt d’habilitats concretes, com podrien ser el comptatge o la construcció del sentit de la mesura. Arran d’això, a Innovamat va sorgir una pregunta, gairebé una necessitat: podrien unir-se aquestes petites seqüències en un únic mapa que representés totes les interdependències en l’aprenentatge de les matemàtiques? I, com que ens agraden els reptes, ens vam hi vam posar.
Després de més d’un any d’estudi, lectures, converses amb experts i incomptables reunions per discutir i consensuar idees, podem afirmar amb entusiasme que tenim enllestida la primera versió d’aquest mapa per als continguts matemàtics escolars que se solen treballar en les edats de 3 a 12 anys. Avui dia, continuem desenvolupant el mapa amb continguts que solen treballar-se en edats posteriors. Volem posar sobre la taula que una feina com aquesta, que ha requerit la presa de nombrosíssimes decisions complexes, estarà sempre viva i en contínua construcció i millora. Moltes parts estan documentades i recolzades per bibliografia especialitzada, però seria imprudent pensar que no pot haver-hi noves troballes que vagin matisant i millorant el mapa.
Permeteu-nos ara explicar un parell d’especialitats per entendre la construcció del mapa i poder-lo interpretar correctament.
Aquest «mapa» és en realitat un graf, constituït per un conjunt de nodes (les petites unitats d’aprenentatge), i un conjunt de fletxes. Una fletxa A → B expressa que un alumne que no aconsegueixi fer el que proposa A és molt probable que tampoc aconsegueixi fer el que proposa B. És important destacar, no obstant això, que aquesta fletxa no implica que B sigui el pas immediatament posterior a A. De fet, la majoria de nodes tenen més d’una fletxa entrant i sortint. La part del graf corresponent al sentit numèric, per exemple, des de lluny té aquest aspecte:
Aclaparador, oi? Ara mateix existeixen al voltant de 2000 nodes i uns quants milers de fletxes entre ells. La finalitat, per tant, no és visualitzar les dependències d’aprenentatge de manera tan global, sinó fer servir aquesta enorme xarxa ricament connectada per crear eines que veritablement ens ajudin a construir coneixement a l’aula.
Apel·lant a una de les motivacions inicials del projecte (posteriorment ha resultat transformar altres àrees que no contemplàvem en un principi), tenir una única trajectòria ens permet orientar les ajudes que necessita un alumne per continuar aprenent. Imaginem que la Martina té dificultats amb la suma mitjançant l’algoritme vertical. Mirant el graf, ràpidament podem plantejar-nos qüestions com: si li plantegem una suma en què les unitats dels dos sumands no superin la desena, és capaç de resoldre-la? En cas que no sigui així, sabria resoldre aquesta mateixa suma manipulativament, fent servir blocs base 10? Si no, la Martina sap representar un número amb material base 10? Si no, és capaç de comptar d’1 en 1 i de 10 en 10 en el rang pertinent? Seguint aquest procés, podem recórrer el graf retroactivament per detectar en quin punt està l’origen de la dificultat de la Martina, i utilitzar els recursos associats a aquest punt d’aprenentatge per buscar tasques o guies que ens ajudin a plantejar solucions. I això, gràcies al mapa, podem fer-ho amb qualsevol contingut, sigui del bloc que sigui.
Continguts i processos
Donada la nostra concepció competencial de les matemàtiques, és important destacar que tot el que apareix en el graf són continguts: no fa referència als processos subjacents a tota actuació matemàtica (resolució de problemes, raonament i prova, connexions, comunicació i representació). No obstant això, el tractament dels continguts amb activitats o actituds docents que no donin cabuda al desenvolupament d’aquests processos limitaria molt el potencial d’una eina com aquest mapa. Lluny de concebre la docència com un mer recorregut per aquests nodes, pretenem que el graf doni una visió transversal de l’ordre en el qual és convenient construir els continguts.
Un altre punt també interessant és el fet que una estructura d’aquest tipus és fàcilment programable perquè sigui llegida per una màquina, i això ens permet individualitzar l’aprenentatge a través d’eines digitals. I és que l’alumnat d’Innovamat dedica una estona setmanal a practicar de manera sistemàtica, mitjançant una app, els continguts que s’han vist a l’aula. Les dades resultants, ben interpretades gràcies al mapa, poden ser aprofitades per identificar en quina etapa es troba cada alumne i què li seria convenient reforçar, practicar o explorar. Conèixer aquesta informació, en el grau de detall que cadascú consideri convenient, és valuosíssim per fomentar que els docents tinguem més visibilitat sobre el procés d’aprenentatge dels nostres alumnes i els puguem orientar més fàcilment cap als reptes següents.
Després de tantes hores darrere de punts i fletxes, correm el risc d’entusiasmar-nos massa i estendre’ns en les possibilitats que aquest mapa ofereix i les portes que obre. Havent fet aquesta breu presentació, de moment deixem que sigui cadascú qui pensi com una eina així podria transformar la seva aula o la manera d’orientar l’alumnat. El temps i l’interès que mostreu els docents per aquestes trajectòries diran si és convenient convertir el mapa en un format més fàcil de consultar i consumir, obert a la comunitat educativa. Al final, aquesta reflexió sobre la pròpia aula és sempre la transformació més potent.
- Alsina, Àngel (2022), Itinerarios didácticos para la enseñanza de las matemáticas (3-6 años), Barcelona, GRAÓ.
- Douglas H. Clements & Julie Sarama (2004) Learning Trajectories in Mathematics Education, Mathematical Thinking and Learning, 6:2, 81-89, DOI: 10.1207/s15327833mtl0602_1
- Morales, M. M. & Fernández, J. F. G. (2022). La evaluación formativa: Estrategias eficaces para regular el aprendizaje (Biblioteca Innovación Educativa no 48). Ediciones SM España.
- Wilson, P.H., Mojica, G.F., & Confrey, J. (2013). Learning Trajectories in Teacher Education: Supporting Teachers’ Understandings of Students’ Mathematical Thinking. The Journal of Mathematical Behavior, 32, 103-121.
- Sarama, J., Clements, D.H., & Spitler, M.E. (2017). Evidence of Teacher Change after Participating in TRIAD’s Learning Trajectories-based Professional Development and after Implementing Learning Trajectory-based Mathematics Instruction. Mathematics Teacher Education and Development, 19, 58-75.
- Douglas H. Clements, Julie Sarama, Mary Elaine Spitler, Alissa A. Lange, & Christopher B. Wolfe. (2011). Mathematics Learned by Young Children in an Intervention Based on Learning Trajectories: A Large-Scale Cluster Randomized Trial. Journal for Research in Mathematics Education, 42(2), 127–166. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.42.2.0127
- Sztajn, P., Confrey, J., Wilson, P.H., & Edgington, C.P. (2012). Learning Trajectory Based Instruction. Educational Researcher, 41, 147 – 156.
- Siemon, D., Barkatsas, T. & Seah, R. (2019). Researching and Using Progressions (Trajectories) in Mathematics Education (Global Education in the 21st Century, 3). Brill | Sense.
