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Nuestra secuencia didáctica: mapa del aprendizaje matemático

Secuencia didáctica innovamat

Una herramienta para transformar tu aula de matemáticas

Es evidente que nunca plantearíamos una multiplicación a un alumno que todavía no sabe sumar. Cuando examinamos la cuestión un poco más de cerca, vemos que multiplicar es sumar de manera iterada un mismo número y que, por consiguiente, requiere haber comprendido lo que significa sumar. Y es que el aprendizaje de las matemáticas, especialmente dentro del sentido numérico, tiene una naturaleza secuenciada: para comprender un nuevo concepto, debemos sustentarnos en el trabajo hecho previamente, construyendo ladrillo sobre ladrillo.

Trayectorias de aprendizaje matemático

En este sentido, podemos intuir que, bajo el paraguas de conceptos y habilidades matemáticas que conocemos, existe un esqueleto, una estructura que secuencia las habilidades que un alumno puede ir aprendiendo. Es aquí donde nacen las trayectorias de aprendizaje, un concepto que ha ido tomando forma en artículos y revistas especializadas en didáctica durante los últimos 25 años y que ha mostrado su potencial transformador. Y es que definir trayectorias de aprendizaje es una actuación que incide sobre los dos agentes principales en educación: alumnos y docentes. Como docentes, conocer la evolución de una habilidad matemática nos permite saber qué pasos es probable que haya recorrido un alumno para llegar donde está, a la vez que nos hace conscientes de lo que podría aprender desde este punto. De esta manera, podemos tomar decisiones didácticas más convenientes y documentadas. Si acompañamos dichas trayectorias con tareas específicas asociadas a cada etapa del aprendizaje, estamos ante una herramienta de evaluación formativa fantástica (Morales y Fernández, 2022). De hecho, diversos estudios hablan del éxito de las trayectorias de aprendizaje como herramienta formativa para el profesorado (Wilson, 2013; Sarama, 2017), como herramienta para mejorar el aprendizaje matemático del alumnado (Clements, 2011; Alsina, 2022) y como piedra angular de un marco teórico para la docencia basada en investigación (Sztajn, 2012).

Secuencia didáctica de Innovamat

Generalmente, las trayectorias de aprendizaje se han construido para un conjunto de habilidades concretas, como podrían ser el conteo o la construcción del sentido de la medida. Algunas investigaciones recientes han centrado sus esfuerzos en desarrollar estas trayectorias. A raíz de esto, en Innovamat surgió una cuestión, casi una necesidad: ¿podrían unirse todas estas pequeñas secuencias en un único mapa que representara todas las interdependencias en el aprendizaje de las matemáticas? Y, como nos gustan los retos, nos pusimos a ello.

Tras más de un año de estudio, lecturas, conversaciones con expertos e incontables reuniones para discutir y consensuar ideas, podemos afirmar con entusiasmo que tenemos lista la primera versión de este mapa para los contenidos matemáticos escolares que se suelen trabajar en las edades de 3 a 12 años. A día de hoy, seguimos desarrollando el mapa más allá, con contenidos que suelen trabajarse en edades posteriores. Queremos poner sobre la mesa que un trabajo como este, que ha requerido de la toma de numerosísimas decisiones complejas, estará siempre vivo y en continua construcción y mejora. Muchas partes están documentadas y respaldadas por bibliografía especializada, pero sería imprudente pensar que no puede haber nuevos hallazgos que vayan matizando y mejorando el mapa.

Permitidnos ahora explicar un par de especificidades para entender la construcción del mapa y poderlo interpretar correctamente.

Este «mapa» es en realidad un grafo, constituido por un conjunto de nodos (las pequeñas unidades de aprendizaje), y un conjunto de flechas. Una flecha «A → B» expresa que un alumno que no consiga realizar lo que propone A es muy probable que tampoco consiga lo que propone B. Es importante destacar, sin embargo, que dicha flecha no implica que B sea el paso inmediatamente posterior a A. De hecho, la mayoría de nodos tienen más de una flecha entrante y saliente. La parte del grafo correspondiente al sentido numérico, por ejemplo, desde lejos tiene este aspecto:

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Abrumador, ¿verdad? Ahora mismo existen alrededor de 2 000 nodos y unos cuantos miles de flechas entre ellos. La finalidad, por tanto, no es visualizar las dependencias de aprendizaje de manera tan global, sino usar esta enorme red ricamente conectada para crear herramientas que verdaderamente nos ayuden a construir conocimiento en el aula.

Apelando a una de las motivaciones iniciales del proyecto (posteriormente ha resultado transformar otras áreas que no contemplábamos en un principio), tener una única trayectoria nos permite orientar las ayudas que necesita un alumno para seguir aprendiendo. Imaginemos que Martina tiene dificultades con la suma mediante el algoritmo vertical. Mirando el grafo, rápidamente podemos plantearnos cuestiones como: si le planteamos una suma donde las unidades de los dos sumandos no superen la decena, ¿es capaz de resolverla? En caso de que no sea así, ¿sabría resolver esa misma suma manipulativamente, usando bloques base 10? Si no, ¿sabe Martina representar un número con material base 10? Si no, ¿es capaz de contar de 1 en 1 y de 10 en 10 en el rango pertinente? Siguiendo este proceso, podemos recorrer el grafo retroactivamente para detectar en qué punto está el origen de la dificultad de Martina, y usar los recursos asociados a ese punto de aprendizaje para buscar tareas o guías que nos ayuden a plantear soluciones. Y esto, gracias al mapa, podemos hacerlo con cualquier contenido, sea del bloque que sea.

Secuencia contaje Innovamat

Contenidos y procesos

Dada nuestra concepción competencial de las matemáticas, es importante hacer hincapié en que todo lo que aparece en el grafo son contenidos: no hace referencia a los procesos subyacentes a toda actuación matemática (resolución de problemas, razonamiento y prueba, conexiones, comunicación y representación). Sin embargo, el tratamiento de los contenidos con actividades o actitudes docentes que no den cabida al desarrollo de estos procesos limitaría mucho el potencial de una herramienta como este mapa. Lejos de concebir la docencia como un mero recorrido por estos nodos, pretendemos que el grafo dé una visión transversal del orden en el que es conveniente construir los contenidos.

Otro punto también interesante es el hecho de que una estructura de este tipo es fácilmente programable para que sea leída por una máquina, y esto nos permite individualizar el aprendizaje a través de herramientas digitales. Y es que el alumnado de Innovamat dedica un rato semanal a practicar sistemáticamente, mediante una app, los contenidos que se han visto en el aula. Los datos resultantes, bien interpretados mediante el mapa, pueden ser aprovechados para identificar en qué etapa se encuentra cada alumno y qué le sería conveniente reforzar, practicar o explorar. Conocer esta información, al nivel de detalle que cada uno sienta conveniente, es valiosísimo para fomentar que los docentes tengamos más visibilidad sobre el proceso de aprendizaje de nuestros alumnos y les podamos orientar más fácilmente hacia sus siguientes retos.

Tras tantas horas detrás de puntos y flechas, corremos el riesgo de entusiasmarnos demasiado y extendernos en las posibilidades que este mapa ofrece y las puertas que abre. Habiendo hecho esta breve presentación, de momento dejamos que sea cada uno quien piense cómo una herramienta así podría transformar su aula o su manera de orientar al alumnado. El tiempo y el interés que mostréis los docentes por estas trayectorias dirán si es conveniente convertir el mapa a un formato más fácil de consultar y consumir, abierto a la comunidad educativa. Al final, esa reflexión sobre la propia aula es siempre la transformación más potente.

  • Guillermo Ródenas

    Matemático y físico de formación, apasionado por el aprendizaje y todo lo que lo rodea. Actualmente, su tarea en Innovamat se centra en la investigación, conceptualización y diseño de trayectorias de aprendizaje matemático.

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