Així és com solc començar les meves sessions de formació de matemàtiques per a mestres de primària i el meu curs de formació de professors a la universitat. Els pregunto: «Què és un problema?».
Així doncs, vosaltres què penseu que és?
Aquesta pregunta em serveix per trencar el gel i explorar com l’audiència entén una paraula que té múltiples significats, una paraula que ha transcendit les matemàtiques i ha trobat un lloc en el nostre vocabulari diari. I que, a més, és una paraula clau per endinsar-se en els estàndards estatals, les pràctiques matemàtiques, les pautes d’ensenyament i els programes que posen la resolució de problemes al centre i donen forma a la manera com enfoquem l’ensenyament de les matemàtiques. I aquestes són algunes de les respostes més comunes que obtinc:
«Un enunciat escrit amb una operació que cal calcular.»
«Una tasca amb un context.»
«Qualsevol cosa per resoldre.»
«Alguna cosa que, per resoldre-la, hi hem de dedicar temps.»
Moltes vegades és una combinació de totes aquestes respostes. Així doncs, les sintetitzo en una llista de característiques dels problemes per continuar guiant el debat:
- Enunciat
- Càlcul
Context - Amb una solució
- Requereix temps
Després, en demano un exemple. Durant la darrera sessió de formació que vaig impartir, van proposar aquest:
Avui serem 7 persones a dinar. Si sabem que cada persona menjarà 2 entrepans, quants entrepans hem de preparar?
Repassem la llista de verificació: té un enunciat, implica un càlcul, té un context i requereix una solució. Aquest exemple pot no suposar-nos gaire temps, però això és perquè venen pocs convidats a dinar i no tenen gaire gana, oi?
Bé. Hem revisat la llista i, aparentment, som davant d’un problema. A continuació, demano a l’audiència que el resolgui.
«Llavors, quants entrepans hem de preparar?»
«14.»
«Com ho sabeu?»
És llavors quan em miren com si els preguntés si el cel és blau.
«Perquè òbviament és set per dos.»
«Òbviament. Hi estic d’acord. Llavors, això és un problema per a vosaltres?»
En aquest moment, mentre pensen, improviso ràpidament això a la pissarra:
I pregunto: «Si ara us demano que vingueu i resolgueu això, seria un problema per a vosaltres?»
Alguns van deixar anar una rialla nerviosa abans d’admetre que, en efecte, ho seria. Però no té context, ni enunciat…
Veieu per on vaig, oi? L’audiència també. S’adonen que la seva resposta, i la llista de característiques, està esbiaixada per la tradició escolar de resoldre els confusament anomenats Problemes d’Aritmètica Escolar (PAEs).
El perill és que, cada vegada que llegim les paraules problema o resolució de problemes en els estàndards oficials o qualsevol altre recurs, podem estar perdent el seu significat real. Com podem fomentar les habilitats de resolució de problemes si en malinterpretem la definició?
Què diu la investigació
Vegem breument el que alguns autors de referència diuen sobre aquest tema. En un article recent molt bo, Foster (2023, p. 2) explica que considerem com a tasca matemàtica qualsevol activitat matemàtica que demanem als nostres alumnes, i les dividim en tasques rutinàries i tasques no rutinàries. Les tasques rutinàries, denominades exercicis, són invitacions perquè els alumnes imitin un mètode que se’ls ha ensenyat prèviament. Per tant, una tasca no rutinària o problema és «una tasca el mètode de solució de la qual no es coneix per avançat» (NCTM, 2000, pàg. 52). Liljedahl (2020, p. 26) ho escriu en termes encara més simples: «resoldre problemes és el que fem quan no sabem què hem de fer».
Per tant, si una tasca és o no un problema depèn principalment de si la persona que s’hi enfronta ja té una estratègia de resolució o no. Però, compte! Aquesta distinció entre un exercici i un problema és independent de l’esforç que requereixi la tasca. Com també explica Foster (2023, p. 4): «Una tasca pot ser rutinària però difícil. Per exemple, multiplicar dos nombres de 5 dígits entre ells seria difícil, però completament rutinari per a algú ben familiaritzat amb l’algoritme de multiplicació llarga».
Tornem al «problema» dels entrepans. Realment és un problema? Si ets un alumne de 1r de primària que no està del tot familiaritzat amb la suma, pot ser que per a tu no sigui rutinari. En aquest cas sí que seria un problema. Ara bé, un cop siguis capaç de llegir i entendre l’enunciat, serà més aviat un exercici per practicar la multiplicació. La majoria de tasques que per a nosaltres avui són problemes amb el temps es convertiran en exercicis, a mesura que desenvolupem habilitats de resolució de problemes.
I això sempre passa? Bé, sí i no. Evidentment, s’han de tenir en compte les habilitats de la persona que resol el problema, però això no significa necessàriament que no puguem trobar tasques que siguin bones per desenvolupar habilitats de resolució de problemes per a diversos cursos o edats a la vegada. Vegem aquest exemple clàssic de vistes:
Els alumnes d’I5 o de 1r poden començar a pensar en la tasca, a intentar resoldre-la, a construir amb material manipulatiu. I podem estar contents si troben una possible solució. Els alumnes més grans, i fins i tot els adults, poden tenir dificultats per trobar totes les solucions. Quina és la quantitat màxima de cubets? I la mínima? Podem construir aquesta figura amb qualsevol quantitat de cubets entremig? Etc. Per descomptat, la forma en què plantegem preguntes a l’aula també és fonamental, però podem explorar-ho en futures publicacions.
En qualsevol cas, segons la meva experiència, aquestes tasques són les millors per compartir amb els docents en una sessió de formació. Ens fan pensar, enfrontar-nos i, per tant, sentir en què consisteix resoldre problemes i, en última instància, pensar matemàticament. I això és preciós.
Per què són tan importants els problemes?
Un cop vaig escriure que els problemes són per a l’activitat matemàtica com les muntanyes per a l’alpinisme. Representen el pic, però també el viatge, el camí cap al cim. Encarnen l’esforç i, alhora, la recompensa de contemplar unes vistes espectaculars. Són un desafiament esperant ser superat. Són indispensables. Resoldre un problema al qual t’has enfrontat és profundament satisfactori. I és aquest sentiment el que genera entusiasme vers les matemàtiques.
Ara bé, ens hem de desfer dels exercicis a les classes de matemàtiques? Bé, depèn del propòsit que tinguem. Els exercicis són interessants si volem que els nostres alumnes practiquin algoritmes i procediments. Les situacions contextualitzades són claus per practicar també la comprensió lectora. A més, moltes proves estatals oficials encara se centren en aquestes tasques, per la qual cosa de moment pot ser bo que els nostres alumnes s’hi familiaritzin. Com sempre diem a Innovamat, comença per evitar dedicar tot el temps a la mateixa mena de tasques rutinàries. Tingues la ment oberta. Prova coses noves. I, sobretot, tingues present que les matemàtiques són molt més que nombres i operacions.
Amb el temps, la major part del nostre temps a l’aula l’hauríem de dedicar a la resolució de problemes —el que Liljedahl (2020) anomena aules de pensament—, que és on sorgeix el debat, l’argumentació, la recerca d’estratègies, connexions i raonaments. Com diu l’autor: «La resolució de problemes és un procés desordenat, no lineal i idiosincràtic. Els alumnes es bloquejaran. Pensaran. I es desbloquejaran. I quan ho facin, aprendran: aprendran sobre matemàtiques, aprendran sobre si mateixos i aprendran a pensar.» (Liljedahl, 2020, p. 20)
Arribats a aquest punt, pot ser que ens preocupi el fet que la majoria de tasques que presentem a l’aula són exercicis (incloent-hi les situacions contextualitzades). Què podem fer-hi? A llarg termini, treballar per fomentar un ambient de resolució de problemes. A curt termini, veurem quatre estratègies per enriquir i reciclar alguns dels exercicis tradicionals, a través d’exemples, en un pròxim article.
Referències
Foster, C. (2023). Problem solving in the mathematics curriculum: From domain‐general strategies to domain‐specific tactics. The Curriculum Journal, 213. https://doi.org/10.1002/curj.213
Liljedahl, P. (2020). Building thinking classrooms in mathematics, grades K-12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning. Corwin Mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.
Altres referències
Hiebert, J., & Wearne, D. (2003). Developing understanding through problem solving. In Schoen, H. L. i Charles, R. I. (Eds.), Teaching mathematics through problem solving (pp. 6–12). Reston, VA: NCTM.
Pólya, G. (1945). How to solve it. Princeton University Press.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In Grouws D. A. (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan Publishing Company.
Schoenfeld, A. H. (2007). Problem solving in the United States, 1970–2008: Research and theory, practice and politics. ZDM, 39(5), 537-551. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0038-z
Schoenfeld, A. H. (2014). Mathematical Problem Solving. Elsevier Gezondheidszorg.
