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O que é um problema?

What is a problem

Geralmente, é assim que começo minhas sessões de formação em matemática para professores do ensino fundamental e meu curso de formação de professores na universidade. Pergunto:”O que é um problema?

E o que vocês acham que é?

Uso essa pergunta para quebrar o gelo e descobrir como o público entende uma palavra que tem vários significados, uma palavra que transcendeu a matemática e encontrou um lugar em nosso vocabulário cotidiano. Ela é também uma palavra fundamental para começar a falar de padrões estatais, práticas matemáticas, diretrizes de ensino e programas que colocam a resolução de problemas no centro, dando forma à maneira como abordamos o ensino da matemática. E essas são algumas das respostas mais comuns que costumo receber:

“Um enunciado escrito para uma operação de cálculo”.
“Uma tarefa com um contexto”
“Qualquer coisa a ser resolvida”
“O que demanda tempo para resolver”.

Em geral, o problema é uma combinação dessas respostas, por isso, oriento a discussão com a ajuda de uma lista de características do problema:

  • Enunciado
  • Cálculo
  • Contexto
  • Com uma solução
  • Exige tempo

Depois, peço um exemplo. Na minha última sessão de formação, sugeriram o seguinte:

Seremos sete pessoas no almoço de hoje. Se sabemos que cada pessoa comerá 2 sanduíches, quantos sanduíches precisamos preparar?

Vamos revisar a lista de verificação: a questão tem um enunciado, envolve um cálculo, tem um contexto e exige uma solução. Esse exemplo pode não exigir muito tempo, mas isso se deve ao fato de que temos apenas alguns convidados, e eles não estão com muita fome, não é? Então. Verificamos a lista e, aparentemente, estamos diante de um problema. Portanto, pedi ao público que resolvesse o problema. “Então, quantos sanduíches temos que preparar?” “14.” “Como vocês sabem?” Nesse momento, eles costumam olhar para mim como se eu estivesse perguntando se o céu é azul. “Porque , obviamente, é sete vezes dois.” “Obviamente. Concordo. Então, isso é um problema para vocês?” E enquanto eles pensam, eu improviso rapidamente na lousa: Fracció Como estava dizendo: “Se agora eu pedisse para resolverem isso, seria um problema para vocês?” Geralmente, eles dão uma risadinha nervosa antes de admitir que, de fato, seria. O caso é que aqui não há contexto, não há enunciado… Estão vendo onde quero chegar? Pois o meus alunos também veem. Eles percebem que as respostas que deram e a lista de características são influenciadas pela tradição escolar de resolver o que se chama confusamente de Problemas de Aritmética Escolar (PAEs). O perigo aqui é que, toda vez que lemos as palavras problema ou solução de problemas nas normas oficiais ou em qualquer outro recurso, podemos estar perdendo seu verdadeiro significado. Como podemos promover as habilidades de resolução de problemas se não entendermos sua definição?
Niña pensando respuesta en cuaderno

O que dizem as pesquisas

Vamos dar uma olhada rápida no que alguns dos principais autores têm a dizer sobre isso. Em um artigo recente e muito bom, Foster (2023, p. 2) explica que consideramos uma tarefa matemática qualquer coisa que pedimos aos estudantes de matemática para fazer, e que as tarefas se dividem em rotineiras e não rotineiras. Nas tarefas rotineiras, chamadas de exercícios, os estudantes são convidados a imitar um método que foi ensinado anteriormente. Uma tarefa não rotineira ou problema é, portanto, “uma tarefa cujo método de solução não é conhecido antecipadamente” (NCTM, 2000, p. 52). Liljedahl (2020, p. 26) escreve em termos ainda mais simples: “solução de problemas é o que fazemos quando não sabemos o que fazer“.

Portanto, ser ou não ser um problema depende principalmente de se a pessoa que enfrenta a tarefa tem ou não tem uma estratégia de solução de problemas. Mas, cuidado! A distinção entre um exercício e um problema não depende do esforço exigido pela tarefa. Como Foster também explica (2023, p. 4): “Uma tarefa pode ser rotineira (exercício), porém difícil. Por exemplo, a multiplicação de dois números de 5 dígitos seria difícil, mas completamente rotineira para alguém familiarizado com o algoritmo da multiplicação longa”.

De volta ao “problema” dos sanduíches. Ele é realmente um problema? Se você é um aluno do primeiro ano e não está familiarizado com a adição, talvez não ache a tarefa rotineira. Nesse caso, isso seria um problema. Entretanto, quando você conseguir ler e entender o enunciado, a tarefa será um exercício para praticar a multiplicação. A maioria das tarefas que hoje são problemas acabará sendo transformada em exercício à medida que desenvolvermos habilidades de resolução de problemas.

Isso sempre acontece? Bem, sim e não. É claro que as habilidades do solucionador devem ser levadas em conta, mas isso não significa que não podemos encontrar tarefas que sejam boas para desenvolver habilidades de resolução de problemas em vários anos escolares ou idades. Vamos dar uma olhada nesse exemplo clássico de vistas:

Ejercicio vistas figuras PT

Um estudante o infantil ou do 1º ano pode começar a pensar sobre a tarefa, experimentar e construir com materiais manipulativos. E podemos ficar satisfeitos se ele encontrar uma solução possível. Os estudantes mais velhos, e até mesmo os adultos, podem achar difícil encontrar todas as soluções. Qual é a quantidade máxima de cubinhos? E a mínima? Podemos construir essa figura com qualquer quantidade de cubinhos no meio? Etc. É claro que a maneira como usamos o questionamento em sala de aula também é crucial, mas podemos explorar esse assunto no futuro.

De qualquer forma, segundo minha experiência, essas tarefas são as melhores para ser compartilhadas com os professores em uma sessão de formação. Elas nos fazem pensar, confrontar-nos e, portanto, sentir em que consiste a resolução de um problema e, em última análise, pensar matematicamente. E isso é lindo.

Por que os problemas são tão importantes?

Certa vez, escrevi que os problemas são para a atividade matemática o que as montanhas são para o alpinismo. Eles representam o pico, mas também a jornada, o caminho até o topo. Eles encarnam o esforço e, ao mesmo tempo, a recompensa de vistas espetaculares. Eles são um desafio que está esperando para ser superado. E são indispensáveis. A solução de um problema enfrentado é profundamente satisfatória. E é esse sentimento que gera entusiasmo por ele. No entanto, será que devemos descartar todos os exercícios em nossas aulas de matemática? Bem, isso depende do nosso objetivo. Os exercícios são interessantes se quisermos que os estudantes pratiquem algoritmos e procedimentos. Situações contextualizadas também são fundamentais para praticar a compreensão de leitura. Além disso, muitas provas oficiais ainda se concentram nessas tarefas, portanto, pode ser bom que nossas turmas se familiarizem com elas. Como sempre dizemos na Innovamat, comece evitando gastar todo o seu tempo com o mesmo tipo de tarefa rotineira. Tenha uma mente aberta. Experimente coisas novas. E, acima de tudo, tenha em mente que a matemática é muito mais do que números e operações.
Niños con material manipulativo de colores
Niño resolviendo un problema con material

Com o tempo, dedicaremos a maior parte do tempo em sala de aula à solução de problemas. É o que Liljedahl (2020) chama de salas de aula pensantes, onde surgem o debate, a argumentação, a elaboração de estratégias, o estabelecimento de conexões e raciocínios. Como diz o autor, “a solução de problemas é um processo confuso, não linear e idiossincrático. Os estudantes vão emperrar, vão pensar e vão se desvencilhar. E quando fizerem isso, vão aprender: aprender sobre matemática, aprender sobre si mesmos e aprender a pensar” (Liljedahl, 2020, p. 20).

A essa altura, talvez já nos preocupe pensar que a maioria das tarefas que apresentamos em sala de aula são exercícios (incluindo situações contextualizadas). O que podemos fazer a respeito? No longo prazo, trabalhar para promover um ambiente de resolução de problemas. No curto prazo, recomendo que vocês analisem quatro estratégias para enriquecer e reciclar alguns exercícios tradicionais, por meio de exemplos.

Referências

Foster, C. (2023). Problem solving in the mathematics curriculum: From domain‐general strategies to domain‐specific tactics. The Curriculum Journal, 213. https://doi.org/10.1002/curj.213 

Liljedahl, P. (2020). Building thinking classrooms in mathematics, grades K-12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning. Corwin Mathematics.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.

Outras referências

Hiebert, J., & Wearne, D. (2003). Developing understanding through problem solving. In Schoen, H. L. i Charles, R. I. (Eds.), Teaching mathematics through problem solving (pp. 6–12). Reston, VA: NCTM.

Pólya, G. (1945). How to solve it. Princeton University Press.

Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In Grouws D. A. (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan Publishing Company.

Schoenfeld, A. H. (2007). Problem solving in the United States, 1970–2008: Research and theory, practice and politics. ZDM, 39(5), 537-551. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0038-z

Schoenfeld, A. H. (2014). Mathematical Problem Solving. Elsevier Gezondheidszorg.

  • Albert Vilalta

    É engenheiro por formação e professor de matemática por vocação. Atualmente, atua como professor da Faculdade de Educação da Universidade Autônoma de Barcelona e está concluindo o doutorado em didática da matemática. Combina o trabalho universitário com a formação de professores e, sobretudo, com atividades de pesquisa, comunicação e conceitualização no departamento didático da Innovamat.

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