Observación y análisis de aula: sesión 4 del Laboratorio de los Números de 6º
Este es el primer análisis de la serie Observaciones y análisis de aula, una sección que llega al blog de Innovamat para dotar a los docentes de herramientas para reflexionar sobre su práctica docente, a partir de ejemplos reales concretos.
Hoy visitamos la clase de Pau, en una escuela de Barcelona. Sus 25 alumnos cursan 6º de primaria. Entre ellos hay cinco con NEAE (necesidades específicas de apoyo educativo): dos casos de dislexia, uno de TDAH, uno de SAF y otro con una enfermedad neurodegenerativa (este último con adaptación curricular).
A cargo de la gestión de aula solo está Pau, y realizarán la Sesión 4 del Laboratorio de los Números de 6º, titulada Revisitemos: Dividamos números naturales. Más allá de lo que dice la guía, la clase acaba desarrollándose en tres fases:
- Los 10 minutos iniciales sirven para ver un vídeo que nos recuerda la división entre 2 cifras.
- Los 30 minutos centrales están dedicados a hacer una práctica productiva de divisiones y a conjeturar sobre la división de unos números en particular entre 11.
- Los últimos 20 minutos se trabajan las tareas del cuaderno.
También es importante mencionar que estamos a segunda hora de la mañana. Como ya iréis viendo a lo largo de la entrada, ¡todos los detalles son relevantes!
Ahora que ya conocéis a los protagonistas y las circunstancias de hoy, ¡empecemos con el análisis! Como siempre, lo dividiremos en tres apartados, de acuerdo con las tres capas según las cuales entendemos la educación matemática: contenidos, procesos y habilidades socioemocionales. Todo ello acompañado de comentarios sobre la gestión y la atención a la diversidad.
Contenidos
Como habéis visto, el contenido clave de la sesión es la división entre números de dos cifras. Pau, además, presta especial atención a la división entre 11. En el futuro, durante el curso, se podrá volver a visitar esta sesión y hablar sobre la divisibilidad. La alumna con adaptación curricular hace divisiones por su cuenta, con divisores de una cifra.
Pau, a partir del vídeo, comienza recordando a los alumnos cómo hacemos la división por reparto. Luego, hace preguntas para reflexionar en gran grupo sobre la eficiencia del cálculo y el papel del resto: «¿Puedes repartir más unidades cada vez? ¿Hasta cuántas?», o «¿Qué significado tiene el resto? ¿Qué posición ocupa en el algoritmo?».
Pau pone a trabajar a los alumnos y les propone hacer la división 300 entre 11 en las pizarritas, para que la calculen con la máxima espontaneidad. Esto da ritmo a la clase; todos se ponen a trabajar de inmediato, pero va en detrimento de algunas situaciones que podrían haber ocurrido más adelante: si hubieran trabajado con hojas de papel, habrían dejado constancia de los resultados obtenidos y podrían haber regresado en otros momentos de la sesión. Aun así, Pau está atento y recoge en la pizarra los diferentes resultados que va observando. Las pizarritas individuales son un buen recurso para situaciones en las que no es necesario volver atrás y revisar.
La sesión se basa en la práctica productiva de la división, con un planteamiento de suelo bajo y techo alto que facilita el hecho de tener a casi todos los alumnos trabajando en una misma tarea y contexto, cada uno a su propio ritmo. Pau realiza una primera atención a la diversidad y plantea preguntas a los alumnos más rápidos, como:
- Piensa en una situación de problema en la que tengas que usar la división para resolverla.
- Haz una división con un dividendo de 4 cifras y un divisor de 3.
- Basándote en la división que has hecho, que tiene resto 3, busca otra que tenga resto 5.
Y ofrece andamios a los alumnos más lentos, también en forma de pregunta, para avanzar: «¿Cómo empieza el vídeo?», «¿Qué pasaría si repartieras 5 a cada unidad del divisor?», «¿Puedes repartir una cantidad superior a 5?».
Una vez puesto en marcha el algoritmo de la división y después de asegurarse de que toda la clase es capaz de seguirlo, Pau propone que hagan la división de un número capicúa cualquiera de cuatro dígitos entre 11. Les da libertad para hacer el algoritmo compacto o el transparente que se muestra en el vídeo introductorio.
Como ya hemos dicho, Pau está muy atento: controla la situación de la clase y va tomando nota en la pizarra de algunas divisiones, con los cocientes y los restos. Mientras tanto, hace que los estudiantes participen y repasa el cálculo mental de la división y las restas implicadas, haciendo referencia a los hechos conocidos y hechos derivados. Así, promueve las conexiones dentro de las matemáticas, como analizaremos en el siguiente punto.
Es importante destacar que Pau sabe elegir qué cálculos dejar escritos y revisados en la pizarra, y en qué casos es necesario que los alumnos repitan algún cálculo para evitar errores que les impidan hacer conjeturas lo suficientemente bien.
Procesos
Para empezar a analizar los procesos, nos fijamos especialmente en el momento en el que se pregunta a los alumnos si observan alguna regularidad entre los resultados obtenidos de las divisiones entre 11. Es entonces cuando se les anima a hacer conjeturas a partir de establecer conexiones, como describimos a continuación.
Basándose en las anotaciones de la pizarra, Pau pide a los alumnos que revisen una de las operaciones en las que el resto es diferente a 0: «¿Puede que haya un resto distinto a 0?». Esto propicia la primera de las conjeturas, a la que llegan muy rápidamente: «Las divisiones de números capicúas de 4 cifras entre 11 no tienen resto».
Sin embargo, uno de los ejemplos de divisiones que hay en la pizarra no tiene resto 0. Y eso o refuta la conjetura o, si creemos que la conjetura es cierta, nos permite detectar un error de cálculo. Pau se centra en las conexiones, pero debemos ser conscientes de que, al tratar este error de cálculo (un resto distinto a 0 que no puede ser), tenemos una oportunidad de trabajar diferentes aspectos de las matemáticas: contenidos derivados de cómo se demuestra una conjetura, el cuidado al ejecutar tareas, la gestión emocional (habilidades socioemocionales), etc. Y es que todo se entrelaza, pero tengamos paciencia: dejemos las habilidades socioemocionales para el siguiente punto.
Uno de los alumnos formula una nueva conjetura: «Los cocientes mantienen la paridad: si el dividendo es impar, el cociente también lo es; y si el dividendo es par, el cociente también, excepto en un caso».
Pau ha pasado por alto otro error de cálculo en una de las operaciones que tiene en la pizarra, vinculada con la paridad. Ahora, sin embargo, el grupo tiene argumentos para pensar que se trata de un error, así que revisan la operación y la corrigen. En este caso, el error, identificado gracias a la conjetura, se ha convertido en un motor de aprendizaje.
Pau los invita entonces a pensar en un contraejemplo que permita refutar esta conjetura y, dado que los estudiantes no lo encuentran, los empuja a razonar justificadamente el motivo por el que se conserva la paridad entre dividendo y cociente estableciendo conexiones con el producto.
Otro alumno comenta que el cociente tiene la misma cifra en las unidades que el dividendo. Y otro afirma que también es la misma cifra que la unidad de mil. Y, todavía más, otro compañero exclama: «¡Claro! Porque el dividendo es capicúa».
Y es que, a veces, la conexión más simple no se establece porque tenemos la atención centrada en otra parte. Por eso debemos estar atentos a los mensajes que damos a nuestros alumnos. Si la actividad tiene suelo bajo, es porque debemos permitirnos celebrar los razonamientos de todos los alumnos; no hay conjetura demasiado elemental ni reto demasiado fácil.
Finalmente, son capaces de conjeturar que, si las cifras de las decenas y las centenas son mayores que las de las unidades y las unidades de millar, el resultado también es capicúa; en cambio, si son menores, el cociente no es capicúa. Entonces, un alumno encuentra un contraejemplo y señala que eso no sucede en el caso de la división 9 999 : 11 = 909, y esto los lleva a ajustar la conjetura y a reformularla: «Si las cifras de las decenas y las centenas del dividendo son mayores o iguales a las de las unidades y las unidades de millar, el cociente de dividir entre 11 también es capicúa».
Habilidades socioemocionales
En cualquier clase surgen continuamente ocasiones para trabajar las habilidades socioemocionales o, al menos, para plantearnos cuál es nuestra postura como profesores ante estas. ¿Cómo educamos en la responsabilidad, la autonomía, la iniciativa, la gestión emocional o la cooperación en una sesión ordinaria? Podemos tener dos actitudes: ser jueces o facilitadores. Podemos, simplemente, emitir juicios sobre el nivel en el que se encuentran en cada una de las habilidades y, como mucho, animarlos a cambiar algunas actitudes. Esto lo hacemos cada vez que utilizamos expresiones como: «no te preocupes», «no estás escuchando», «sé más responsable», etc. O podemos ser facilitadores del aprendizaje, porque las habilidades socioemocionales también se aprenden. Y esto lo hacemos cuando les damos herramientas para que puedan avanzar y mejorar: «esto todavía no sabes hacerlo», «date cuenta de que esto sí lo sabes hacer», «has perdido la atención en lo que estamos haciendo, retoma el trabajo».
Al comienzo de la sesión de Pau, un alumno que domina el cálculo del cociente escribe en el cuaderno el algoritmo compacto de la división hasta que encuentra el resultado, sin prestar atención a encontrar el resto. Pau lo ve y, mientras sigue el hilo del resto de la clase, lo invita a seguir el algoritmo en el que están trabajando en clase. Esta es una forma de llamar la atención del alumno sobre una actitud que denota falta de responsabilidad. El maestro se centra en la división por reparto y no presta especial atención al resto. Recordemos que los alumnos de 6º están revisitando la división, por lo que ya conocen el concepto de resto y su relevancia. El alumno no tiene ninguna dificultad en este sentido, pero ha ido demasiado rápido, ha querido responder a la pregunta de cuántos elementos corresponden a cada uno (cociente) y no ha prestado atención a si sobran o no. El alumno debe perseverar y revisar el cálculo, porque la operación no es correcta aunque haya respondido correctamente a la pregunta.
A lo largo de la sesión, en repetidas ocasiones, una de las alumnas muestra impotencia ante las dificultades («¡No sé hacerlo!»), llama la atención y muestra notoriamente su enfado. Pau usa con ella algunas de las expresiones anteriores: le recuerda que no lo sabe hacer, todavía. Así, pone el foco en la mentalidad de crecimiento, imprescindible en el proceso de aprendizaje. A alumnos de este tipo tendemos a decirles «¡No te preocupes!», para contener su angustia y porque nos distorsionan la clase, pero esta es una respuesta muy poco satisfactoria para ellos. Necesitan herramientas concretas para no sufrir. El sufrimiento que nos demuestran es un sentimiento que no pueden controlar, pero la gestión emocional también se entrena. Como ya hemos dicho, es importante diferenciar entre juzgar para constatar algo que sucede y el hecho de facilitar que el alumno encuentre el camino para revertirlo.
Contenidos, procesos y habilidades socioemocionales; no son uno sin los otros
Como hemos visto, las tres capas no son herméticas, no se dan unas sin las otras. Es imprescindible entender y ser capaces de detectar que, durante la hora de clase, surge trabajo de contenidos, de procesos y de habilidades socioemocionales de manera continua y alternada, a veces al mismo tiempo y sin poder disociarse un trabajo del otro.
Entonces, ¿cómo podemos analizar las tres capas? Las primeras veces no es necesario analizarlas todas a la vez. Poco a poco, a través de la experiencia, nos sentiremos cada vez más cómodos con este tipo de reflexiones y podremos analizar de forma simultánea y orgánica aspectos de más de una capa.
Cuando Pau trabaja el sentido numérico de la cantidad, y reclama que se preste atención a la eficiencia (o no) de los repartos, está fomentando la responsabilidad a través del cuidado por el detalle y haciendo valer la eficiencia como signo de calidad. Cuando Pau ofrece a sus alumnos preguntas que los empujan a continuar, los lleva a establecer conexiones y a perseverar ante las dificultades. Valorar todas las conjeturas sin diferenciar si son más evidentes o menos anima a seguir trabajando con autonomía e iniciativa, ya que todos se pueden sentir capaces de aportar ideas.
