Skip to content

Divisió de nombres naturals: revisitem l’aula

divisió nombres naturals

Observació i anàlisi d’aula: sessió 4 del Laboratori dels Nombres de 6è

Aquesta és la primera anàlisi de la sèrie Observacions i anàlisi d’aula, una secció que arriba al blog d’Innovamat per dotar els docents d’eines de reflexió sobre la seva pràctica docent, a partir d’exemples reals concrets.

Avui visitem la classe d’en Pau, en una escola de Barcelona. Els seus 25 alumnes cursen 6è de primària. Entre ells n’hi ha cinc amb NESE (necessitats específiques de suport educatiu): dos casos de dislèxia, un de TDAH, un de SAF i un últim amb una malaltia neurodegenerativa (aquest darrer amb adaptació curricular).

A càrrec de la gestió d’aula, només hi és en Pau, i faran la Sessió 4 del Laboratori dels Nombres de 6è, titulada Revisitem: Dividim nombres naturals. Més enllà del que diu la guia, la classe s’acaba desenvolupant en tres fases:

També és important esmentar que som a segona hora del matí. Com ja anireu veient al llarg de l’entrada, tots els detalls són rellevants!

Ara que ja coneixeu els protagonistes i les circumstàncies d’avui, som-hi amb l’anàlisi! Com sempre, el dividirem en tres apartats, d’acord amb les tres capes segons les quals entenem l’educació matemàtica: continguts, processos i habilitats socioemocionals. Tot plegat, amanit amb comentaris sobre la gestió i l’atenció a la diversitat.

Continguts

Com heu vist, el contingut clau de la sessió és la divisió entre nombres de dues xifres. En Pau, a més, posa una atenció especial a la divisió entre 11. En el futur, durant el curs, es podrà tornar a revisitar aquesta sessió i parlar de divisibilitat. L’alumna amb adaptació curricular fa divisions pel seu compte, amb divisors d’una xifra.

En Pau, a partir del vídeo, comença tot recordant als alumnes com fem la divisió per repartiments. Llavors, fa preguntes per reflexionar en gran grup sobre l’eficiència del càlcul i el paper del residu: «Pots repartir més unitats cada vegada? Fins a quantes?», o bé «Quin significat té el residu? Quina posició ocupa en l’algoritme?»

En Pau posa a treballar els alumnes i els proposa fer la divisió 300 entre 11 a les pissarretes individuals, perquè la facin amb el màxim d’espontaneïtat. Això dona ritme a la classe; tots es posen a treballar de seguida, però va en detriment d’algunes situacions que podrien haver passat més endavant: si haguessin treballat amb fulls de paper, haurien deixat constància dels resultats obtinguts i hi podrien haver tornat en altres moments de la sessió. Així i tot, en Pau és viu i recull a la pissarra els diferents resultats que va observant. Les pissarretes individuals són un bon recurs per a situacions en què no cal tornar enrere i revisar.

La sessió es basa en la pràctica productiva de la divisió, amb un plantejament de terra baix i sostre alt que facilita el fet de tenir gairebé tots els alumnes treballant en una mateixa tasca i context, cadascú al seu ritme. En Pau fa una primera atenció de la diversitat i planteja als alumnes més ràpids qüestions com ara:

I ofereix bastides als alumnes més lents, també en forma de pregunta, per avançar: «Com comença el vídeo?» «Què passaria si repartissis 5 a cada unitat del divisor?» «Pots repartir una quantitat més gran que 5?»

Un cop posat en marxa l’algoritme de la divisió i després d’assegurar-se que tota la classe és capaç de seguir-lo, en Pau proposa que facin la divisió d’un nombre de quatre xifres capicua qualsevol entre 11. Els dona llibertat per fer l’algoritme compacte o el transparent que mostra el vídeo introductori.

Com ja hem dit, en Pau està molt atent: controla la situació de la classe i va prenent nota a la pissarra d’algunes divisions, amb els quocients i els residus. Mentrestant, fa participar els alumnes i repassa el càlcul mental de la divisió i de les restes implicades, tot fent referència als fets coneguts i fets derivats. Així, promou les connexions dins les matemàtiques, com analitzarem en el proper punt.

És rellevant destacar que en Pau sap escollir quins càlculs cal deixar escrits i revisats a la pissarra, i en quins casos cal que l’alumnat repeteixi algun càlcul per evitar errors que els impedeixin conjecturar prou bé.

Processos

Per començar a analitzar els processos, ens fixem especialment en el moment en què es demana als alumnes si observen alguna regularitat entre els resultats obtinguts de les divisions entre 11. És llavors quan se’ls encoratja a conjecturar a partir d’establir connexions, com descrivim a continuació.

Basant-se en les anotacions a la pissarra, en Pau demana als alumnes que revisin una de les operacions en què el residu és diferent de 0: «Pot ser que hi hagi un residu diferent de 0?» Això propicia la primera de les conjectures, a la qual arriben molt de pressa: «Les divisions de nombres capicues de 4 xifres entre 11 no tenen residu.»

Un dels exemples de divisions que hi ha a la pissarra, però, no té residu 0. I això o bé refuta la conjectura, o bé, si creiem que la conjectura és certa, ens permet detectar un error de càlcul. En Pau se centra en les connexions, però hem de ser conscients que, en el tractament d’aquest error de càlcul (un residu diferent de 0 que no pot ser), tenim una oportunitat de treballar diferents aspectes de les matemàtiques: continguts derivats de com es demostra una conjectura, cura en executar tasques, gestió emocional (habilitats socioemocionals), etc. I és que tot s’entrellaça, però tinguem paciència: deixem les habilitats socioemocionals per al punt següent.

Un dels alumnes formula una nova conjectura: «Els quocients mantenen la paritat: si el dividend és senar, el quocient també ho és; i si el dividend és parell, el quocient també, excepte en un cas.»

En Pau ha passat per alt un altre error de càlcul en una de les operacions que té a la pissarra, vinculada amb la paritat. Ara, però, el grup té arguments per pensar que es tracta d’un error, així que revisen l’operació i la corregeixen. En aquest cas, l’error, identificat gràcies a la conjectura, ha esdevingut motor d’aprenentatge.

En Pau els convida llavors a pensar en un contraexemple que permeti refutar aquesta conjectura i, com que els alumnes no el troben, els empeny a raonar justificadament el motiu pel qual es conserva la paritat entre dividend i quocient tot fent connexions amb el producte.

Un altre alumne comenta que el quocient té la mateixa xifra a les unitats que el dividend. I un altre afirma que també és la mateixa xifra que la unitat de mil. I, encara més, un altre company exclama: «És clar! Perquè el dividend és capicua.»

I és que, de vegades, la connexió més senzilla no es fa perquè tenim l’atenció focalitzada en un altre lloc. Per això hem d’estar atents a quins missatges donem als nostres alumnes. Si l’activitat té terra baix és perquè ens hem de permetre celebrar els raonaments de tots els alumnes, no hi ha conjectura massa elemental ni repte massa fàcil.

En darrer lloc, són capaços de conjecturar que, si les xifres de les desenes i les centenes són més grans que les de les unitats i les unitats de miler, el resultat també és capicua; en canvi, si són més petites, el quocient no és capicua. Aleshores, un alumne troba un contraexemple i assenyala que això no succeeix en el cas de la divisió 9 999 : 11 = 909, i això els porta a ajustar la conjectura i a reformular-la: «Si les xifres de les desenes i les centenes del dividend són més grans o iguals que les de les unitats i les unitats de miler, el quocient de dividir entre 11 també és capicua.»

Habilitats socioemocionals

En qualsevol classe sorgeixen contínuament ocasions per treballar les habilitats socioemocionals o, si més no, per plantejar-nos quina és la nostra postura com a mestre davant d’elles. ¿Com eduquem en la responsabilitat, l’autonomia, la iniciativa, la gestió emocional o la cooperació en una sessió ordinària? Podem tenir dues actituds: ser jutges o facilitadors. Podem, simplement, emetre judicis sobre en quin nivell estan en cada una de les habilitats i, com a molt, encoratjar els alumnes a canviar algunes actituds. Això ho fem cada vegada que fem servir expressions com: «no t’amoïnis», «no estàs escoltant», «sigues més responsable», etc. O podem ser facilitadors de l’aprenentatge; perquè les habilitats socioemocionals també s’aprenen. Això ho fem quan els donem eines perquè puguin avançar i millorar: «això no ho saps fer, encara», «fixa’t que això sí que ho saps fer», «has perdut l’atenció en el que estem fent, reprèn el treball.»

divisió nombres naturals matemàtiques

A l’inici de la sessió d’en Pau, un alumne que domina el càlcul de quocient escriu al quadern l’algoritme compacte de la divisió fins a trobar el resultat, sense parar atenció a trobar el residu. En Pau ho veu, i mentre segueix el fil de la resta de la classe, el convida a seguir l’algoritme que estan treballant a classe. Aquesta és una manera de cridar l’atenció de l’alumne sobre una actitud que denota manca de responsabilitat. El mestre se centra en la divisió per repartiments i no para especial atenció en el residu. Recordem que els alumnes de 6è estan revisitant la divisió, de manera que ja coneixen el concepte de residu i com n’és, de rellevant. L’alumne no té cap dificultat en aquest aspecte, però ha anat massa de pressa, ha volgut respondre la pregunta de quants elements corresponen a cadascú (quocient), i no ha parat atenció a si en sobren o no. L’alumne ha de perseverar-hi i revisar el càlcul, perquè l’operació no és correcta encara que hagi contestat la pregunta correctament.

Al llarg de la sessió, en repetides ocasions, una de les alumnes mostra impotència davant la dificultat («No ho sé fer!»), crida l’atenció i mostra notòriament el seu enuig. En Pau fa servir amb ella algunes de les expressions anteriors: li recorda que no ho sap fer, encara. Així, posa el focus en la mentalitat de creixement, imprescindible en el procés d’aprenentatge. A alumnes d’aquesta mena tendim a dir-los «no pateixis!» per contenir el seu neguit i perquè ens distorsiona la classe, però aquesta és una resposta molt poc satisfactòria per a ells. Necessiten eines concretes per no patir. El patiment que ens demostren és un sentiment que no poden controlar, però la gestió emocional també s’entrena. Com ja hem dit, és important diferenciar entre jutjar per constatar quelcom que passa i el fet de facilitar que l’alumne trobi el camí per revertir-ho.

Divisió nombres naturals

Continguts, processos i habilitats socioemocionals; no són un sense els altres

Com hem vist, les tres capes no són estanques, no es donen una sense les altres. És imprescindible entendre i ser capaços de detectar que, durant l’hora de classe, sorgeix treball de continguts, de processos i d’habilitats socioemocionals de manera contínua i alternada, de vegades alhora i sense poder dissociar-se un treball de l’altre.

Aleshores: com podem analitzar les tres capes? Les primeres vegades no cal analitzar-les totes alhora. A poc a poc, a través de l’experiència, ens sentirem cada vegada més còmodes amb aquest tipus de reflexions i serem capaços d’analitzar simultàniament i de manera orgànica aspectes de més d’una capa.

Quan en Pau treballa el sentit numèric de la quantitat, reclamant atenció al voltant de l’eficiència (o no) dels repartiments, està fonamentant la responsabilitat per mitjà de la cura en el detall i fent valdre l’eficiència com a signe de qualitat. Quan en Pau ofereix als seus alumnes preguntes que els empenyen a continuar, els porta a fer connexions i a perseverar davant la dificultat. Valorar totes les conjectures sense diferenciar si són més evidents o menys, encoratja a seguir treballant amb autonomia i iniciativa, ja que tots es poden sentir capaços d’aportar idees.

  • Laura Ansorena

    Formada en arquitectura i professora per absoluta vocació. Li agraden les coses boniques i de debò, com les matemàtiques. Actualment és professora de Matemàtiques, Dibuix Tècnic i Disseny a Aula Escola Europea. Combina la tasca docent amb la col·laboració al departament didàctic d'Innovamat.

Entrades recents

Subscriu-te a la Newsletter

Rep totes les nostres novetats i continguts exclusivament al teu email.