Así es como suelo empezar mis sesiones de formación de matemáticas para maestros de primaria y mi curso de formación de profesores en la universidad. Les pregunto: «¿Qué es un problema?».
¿Y qué pensáis que es vosotros?
Esta pregunta me sirve para romper el hielo y explorar cómo la audiencia entiende una palabra que tiene múltiples significados, una palabra que ha trascendido las matemáticas y encontrado un lugar en nuestro vocabulario diario. Y que, además, es una palabra clave para entrar en los estándares estatales, las prácticas matemáticas, las pautas de enseñanza y los programas que ponen la resolución de problemas en el centro, dando forma a la manera en la que enfocamos la enseñanza de las matemáticas. He aquí algunas de las respuestas más comunes que obtengo:
«Un enunciado escrito con una operación para calcular»
«Una tarea con un contexto»
«Cualquier cosa por resolver»
«Lo que nos lleva tiempo a resolver»
Por lo general, es una combinación de estas respuestas, así que continúo guiando el debate haciendo una lista acorde de características de los problemas:
- Enunciado
- Cálculo
- Contexto
- Con una solución
- Requiere tiempo
Después, pido un ejemplo. Durante mi última sesión de formación, sugirieron este:
Hoy seremos 7 personas para comer. Si sabemos que cada persona comerá 2 bocadillos, ¿cuántos bocadillos necesitamos preparar?
Repasemos la lista de verificación: tiene un enunciado, implica un cálculo, tiene un contexto y requiere una solución. Este ejemplo puede no requerir mucho tiempo para nosotros, pero eso es porque solo unos pocos invitados vienen a comer, y no tienen mucha hambre, ¿verdad?
Bien. Hemos revisado la lista y, aparentemente, estamos ante un problema. A continuación, pedí a la audiencia que lo resolviera.
«Entonces, ¿cuántos bocadillos tenemos que preparar?»
«14.»
«¿Cómo lo sabéis?»
Es entonces cuando me miran como si les preguntara si el cielo es azul.
«Porque obviamente es siete por dos».
«Obviamente. Estoy de acuerdo Entonces, ¿este es un problema para vosotros?»
En este punto, mientras lo estaban pensando, improvisé rápidamente esto en la pizarra:
Mientras decía «Si ahora os pido que vengáis y resolváis esto, ¿sería un problema para vosotros?».
Algunos soltaron una risa nerviosa antes de admitir que, en efecto, lo sería. Pero no tiene contexto, ni enunciado…
Veis por dónde voy, ¿verdad? La audiencia también. Se dan cuenta de que su respuesta, y la lista de características, está sesgada por la tradición escolar de resolver los confusamente llamados Problemas de Aritmética Escolar (PAEs).
El peligro aquí es que, cada vez que leemos las palabras problema o resolución de problemas en los estándares oficiales o cualquier otro recurso, podemos estar perdiendo su verdadero significado. ¿Cómo podemos fomentar las habilidades de resolución de problemas si malinterpretamos su definición?
Lo que dice la investigación
Veamos brevemente lo que algunos autores de referencia dicen al respecto. En un muy buen artículo reciente, Foster (2023, p. 2) explica que consideramos como tarea matemática cualquier cosa matemática que pedimos que hagan nuestros alumnos, y dividimos las tareas en tareas rutinarias y tareas no rutinarias. Las tareas rutinarias, denominadas ejercicios, son invitaciones para que los alumnos imiten un método que previamente se les ha enseñado. Por lo tanto, una tarea no rutinaria o problema es «una tarea cuyo método de solución no se conoce de antemano» (NCTM, 2000, pág. 52). Liljedahl (2020, p. 26) lo escribe en términos aún más simples: «resolver problemas es lo que hacemos cuando no sabemos qué hacer».
Por lo tanto, si una tarea es o no un problema depende principalmente de si la persona que la enfrenta ya tiene una estrategia de resolución o no. ¡Pero cuidado! Esta distinción entre un ejercicio y un problema es independiente del esfuerzo que requiera la tarea. Como también explica Foster (2023, p. 4): «Una tarea puede ser rutinaria pero difícil. Por ejemplo, multiplicar dos números de 5 dígitos juntos sería difícil, pero completamente rutinario para alguien bien familiarizado con el algoritmo de multiplicación larga».
Volvamos al «problema» de los bocadillos. ¿Es realmente un problema? Si eres un estudiante de 1º que no está del todo familiarizado con la suma, puede que no te resulte rutinario. Entonces sí sería un problema. Sin embargo, una vez seas capaz de leer y entender el enunciado, será más bien un ejercicio para practicar la multiplicación. La mayoría de tareas que hoy son problemas para nosotros con el tiempo se convertirán en ejercicios, a medida que desarrollemos habilidades de resolución de problemas.
¿Y esto siempre ocurre? Bueno, sí y no. Por supuesto, se deben tener en cuenta las habilidades de la persona que resuelve, pero esto no significa necesariamente que no podamos encontrar tareas que sean buenas para desarrollar habilidades de resolución de problemas en varios cursos o edades. Veamos este ejemplo clásico de vistas:
Los alumnos de I5 o 1º pueden empezar a pensar en la tarea, a probar y a construir con material manipulativo. Y podemos estar contentos si encuentran una posible solución. Los alumnos mayores, e incluso los adultos, pueden tener dificultades para encontrar todas las soluciones. ¿Cuál es la cantidad máxima de cubitos? ¿Y la mínima? ¿Podemos construir esta figura con cualquier cantidad de cubitos entremedio? Etc. Por supuesto, la forma en la que usamos el cuestionamiento en el aula también es fundamental, pero podemos explorarlo en futuras publicaciones.
En cualquier caso, según mi experiencia, estas tareas son las mejores para compartir con los docentes en una sesión de formación. Nos hacen pensar, enfrentarnos y, por ende, sentir en qué consiste resolver problemas y, en última instancia, pensar matemáticamente. Y eso es hermoso.
¿Por qué son tan importantes los problemas?
Una vez escribí que los problemas son para la actividad matemática lo que las montañas son para el alpinismo. Representan el pico, pero también el viaje, el camino hacia la cima. Encarnan el esfuerzo y, al mismo tiempo, la recompensa de contemplar unas vistas espectaculares. Son un desafío esperando ser superado. Son indispensables. Resolver un problema al que te has enfrentado es profundamente satisfactorio. Y es este sentimiento el que genera un entusiasmo al respecto.
No obstante, ¿debemos deshacernos de cualquier ejercicio en nuestras clases de matemáticas? Bueno, depende del propósito que tengamos. Los ejercicios son interesantes si queremos que nuestros alumnos practiquen algoritmos y procedimientos. Las situaciones contextualizadas son claves para practicar también la comprensión lectora. Además, muchas pruebas estatales oficiales todavía se centran en dichas tareas, por lo que de momento puede ser bueno que nuestros alumnos se familiaricen con ellas. Como siempre decimos en Innovamat, empieza por evitar dedicar todo tu tiempo al mismo tipo de tareas rutinarias. Ten la mente abierta. Prueba cosas nuevas. Y, sobre todo, ten presente que las matemáticas son mucho más que números y operaciones.
Con el tiempo, la mayor parte de nuestro tiempo en el aula deberíamos dedicarlo a la resolución de problemas —lo que Liljedahl (2020) llama aulas de pensamiento—, que es donde surge el debate, la argumentación, la búsqueda de estrategias, conexiones y razonamientos. Como dice el autor, «La resolución de problemas es un proceso desordenado, no lineal e idiosincrásico. Los alumnos se atascarán. Pensarán. Y se desatascarán. Y cuando lo hagan, aprenderán: aprenderán sobre matemáticas, aprenderán sobre sí mismos y aprenderán a pensar» (Liljedahl, 2020, p. 20).
Llegados a este punto, puede que nos sintamos preocupados por pensar que la mayoría de tareas que presentamos en el aula son ejercicios (incluyendo las situaciones contextualizadas). ¿Qué podemos hacer al respecto? A largo plazo, trabajar para fomentar un ambiente de resolución de problemas. A corto plazo, veremos cuatro estrategias para enriquecer y reciclar algunos de esos ejercicios tradicionales, a través de ejemplos, en un próximo artículo.
Referencias
Foster, C. (2023). Problem solving in the mathematics curriculum: From domain‐general strategies to domain‐specific tactics. The Curriculum Journal, 213. https://doi.org/10.1002/curj.213
Liljedahl, P. (2020). Building thinking classrooms in mathematics, grades K-12: 14 Teaching Practices for Enhancing Learning. Corwin Mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.
Otras referencias
Hiebert, J., & Wearne, D. (2003). Developing understanding through problem solving. In Schoen, H. L. i Charles, R. I. (Eds.), Teaching mathematics through problem solving (pp. 6–12). Reston, VA: NCTM.
Pólya, G. (1945). How to solve it. Princeton University Press.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In Grouws D. A. (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan Publishing Company.
Schoenfeld, A. H. (2007). Problem solving in the United States, 1970–2008: Research and theory, practice and politics. ZDM, 39(5), 537-551. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0038-z
Schoenfeld, A. H. (2014). Mathematical Problem Solving. Elsevier Gezondheidszorg.
