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La suma y la resta son dos de las operaciones básicas que los alumnos van construyendo de manera muy inicial en infantil y ya con más profundidad a lo largo del primer ciclo de primaria. Más allá del algoritmo del cálculo exacto, nos centraremos en explicar qué quiere decir sumar y restar y qué significa aprender a hacer estas operaciones.
Recuperamos, así, uno de los recursos para el profesorado que tenemos en el Gestor, las cápsulas de formación, en las que Cecilia Calvo y otros miembros del equipo didáctico diseccionan los procesos que intervienen en el aprendizaje de la suma y de la resta.
No debemos confundir la destreza en la ejecución de un algoritmo con el hecho de saber sumar o saber restar. Las matemáticas no se componen de una lista de procedimientos o fórmulas que los estudiantes deben aprender, sino que tienen más que ver con una manera de pensar, de hacer más eficiente el pensamiento. Esta es una visión de las matemáticas más cercana a la que tenemos de la ciencia como sociedad, y es la visión que queremos transmitir desde Innovamat y que fundamenta estas cápsulas.
Las cápsulas de formación, dedicadas a las operaciones de aritmética básica, son, por un lado, un repositorio de reflexiones y argumentaciones, apoyadas en estudios y literatura especializada, a favor del aprendizaje significativo de las operaciones y, por otro, un pequeño banco de recursos.
Os ofrecemos 3 de las cápsulas de formación dentro del gestor de aula:
A continuación sintetizamos su contenido
Las nociones del conteo y estrategias de suma y resta.
En la cápsula 2 explicamos cómo construir las nociones básicas de la suma y la resta a partir del conteo. Consideramos el conteo o contaje (ascendente y descendente) como base transitoria para el aprendizaje de estas dos operaciones, de manera que, más tarde, los niños y niñas pueden ayudarse del conteo para hacer cadenas de deducción (lo que nosotros llamamos hechos conocidos-hechos derivados). También proponemos diversas contextualizaciones de situaciones aditivas, que pretenden promover diferentes estrategias de resolución y fomentar la conversación matemática en clase para valorar, en términos de eficiencia, cada una de las estrategias.
También explicamos en detalle el proceso de aprendizaje: primero manipulamos objetos que podemos contar, por ejemplo, cubitos; después, pasamos a un nivel más elevado de abstracción limitando el uso del material manipulativo para ofrecer al alumnado la posibilidad de abandonar el conteo. Y, finalmente, construimos estrategias más eficientes, con la conversación como elemento vertebrador que permite compartir el conocimiento.:
Existen diferentes estrategias para abandonar el conteo. Por ejemplo, podemos destacar la estrategia de hechos conocidos-hechos derivados, en la que nos ayudamos de sumas y restas para deducir otras. Por ejemplo: 8 + 9 es uno más que 8 + 8 = 16, por tanto 8 + 9 = 17. Esta estrategia, como todas, la introducimos a través de la manipulación: construyo dos barras de 8 cubitos y me pregunto cuántos cubitos tengo. Después, añado un cubito más a una de las barras. En este caso, no habría que volverlos a contar, sé que tengo 16 + 1. Y una vez he manipulado, puedo representar esta estrategia en papel para terminar de interiorizarla. Finalmente, si la he interiorizado, la podré utilizar recurrentemente, de forma abstracta, para el cálculo mental.
Otra estrategia es la del paso por el diez. Esta estrategia va ligada a los saltos sobre la línea numérica, un modelo clave para desarrollar el cálculo mental, y consiste en ayudarnos del diez para dar saltos de manera más eficiente. Para finalizar, también podemos hablar de la estrategia de descomposición, que nos ayuda a trabajar el cálculo escrito en forma de algoritmo vertical.
Un ejemplo en el aula
Para invitar a los niños y niñas a abandonar el conteo, podemos plantear una situación de aula en la que:
Colocamos cuatro cubitos a la vista del alumno y le decimos: «ponemos cuatro cubitos encima de la mesa: [contamos] uno, dos, tres, cuatro». Después, los tapamos con un pañuelo.
Acto seguido, ponemos tres cubitos más encima del pañuelo y preguntamos: «¿Cuántos cubitos hay ahora sobre la mesa?».
La situación se resuelve mediante la suma de 4 + 3, pero como está planteada para hacerla de manera oral y utilizando material manipulativo, generamos conversación matemática para evidenciar estrategias diferentes que nos permiten resolver la situación, como vemos en la imagen:
Los saltos sobre la recta numérica en el rango 0-100
En la Cápsula 3 desarrollamos el trabajo de las operaciones aditivas en el rango 0-100 a partir de los conocimientos adquiridos de estrategias diferentes:
- Hechos conocidos-hechos derivados: por ejemplo, sé que 3 y 3 son 6, y con uno más son 7.
- Cajitas aditivas: idóneas en situaciones en las que de un primer vistazo vemos simultáneamente dos grupos separados de elementos y la cantidad de elementos total. Por ejemplo, en el caso de la imagen: un grupo de 5 galletas, un grupo de 2 galletas y el total de 7.
Lo importante a destacar de las cajitas es que encapsulan muchas relaciones entre los 3 números que las conforman. No solo encontramos 5 + 2 = 7, sino también 7 − 2 = 5 y 7 − 5 = 2. Trabajar con las cajitas permite interiorizar y automatizar estas relaciones tan importantes para el cálculo de sumas y restas con dígitos.
Además, exponemos la estrecha relación que existe entre la suma y la resta con el fin de explotar al máximo el repertorio de hechos conocido y hechos derivados que nos permite ir sustituyendo el aprendizaje memorístico y mecánico por el razonamiento.
La resta con llevadas y cómo construirla en el aula en tres pasos
Finalmente, a lo largo de la cápsula 7 reflexionamos sobre los algoritmos que, tradicionalmente, enseñamos a los alumnos para la resta con llevadas. Constatamos que no son únicos y que hay un gran factor cultural detrás, e invitamos a los alumnos a que hagan un uso flexible.
También ofrecemos recursos para profundizar en la transparencia de los algoritmos (es decir, la facilidad de explicar las razones por las que el procedimiento funciona a la hora de hacer cálculos) y ejemplificamos cómo construirlos en el aula en 3 pasos:
Trabajamos con material manipulativo.
Representamos este material (puente importante entre la manipulación y la abstracción).
Damos el paso de abstracción: lo convertimos en lenguaje simbólico.
Con estos recursos señalamos que no solo hay una manera de hacer cada una de las operaciones aritméticas elementales, y dejamos algunas directrices de cómo avanzar hacia la construcción de algoritmos flexibles y transparentes. Porque aprender a sumar o restar es más que aprender un algoritmo estándar, y hay muchas otras estrategias para dominar estas operaciones (saltos en la recta numérica, descomposición de números, algoritmos transparentes…).
