En esta ocasión, el contexto real de este problema es la evolución de las compras de DVD en Reino Unido entre los años 2008 y 2014. Nos presentan un gráfico interactivo (situando el cursor encima de cada punto nos muestra el valor exacto). Además, en el eje horizontal nos muestran no el año (valor absoluto), si no el número de años transcurridos desde el 2008 (valor relativo).

En la primera pregunta nos presentan 3 afirmaciones y nos piden determinar, para cada uno, si son verdaderos o falsos.

Leamos la primera: “El número de DVD vendidos disminuyó aproximadamente un 50 % desde 2008 hasta 2014.” Es decir, la variación de ventas entre el 0 (2018) y el 6 (2014) del eje horizontal.

Podemos verificarlo por inspección directa: el número de ventas del año 2014 es de 124,9 (es decir, aproximadamente 125), y el del año 2008 es de 252,9 (aproximadamente 250). Es decir, que la disminución es de aproximadamente 50%.

Leamos la segunda: “El número de DVD vendidos disminuyó la misma cantidad cada año desde 2008 hasta 2014.”

En esta pregunta me equivoqué. El enunciado es FALSO. A simple vista en la imagen, parece una distribución lineal, pero si miramos en detalle el valor de cada punto y vamos realizando cada diferencia, vemos que hay años que decrecen significativamente más que otros. Y claro, nos damos cuenta de que en este caso, en el enunciado no dicen “aproximadamente”. Y como venimos de hacer diversos problemas que se pueden resolver con estimaciones, puede llevar a error fácilmente.

En la tabla podemos ver que existe una diferencia importante entre el año con menor variación (18,3 millones) y el que más (29,8 millones), constatando que el enunciado es FALSO. El hecho que la escala sea de millones, también hace que veamos que realmente las diferencias son significativas.

Vamos a por la tercera afirmación: “La pendiente de la línea representa la disminución media anual de las ventas de DVD desde 2008 hasta 2014.”

Aquí nos encontramos con otra afirmación verdadera. La expresión analítica que define la recta es: y = 252,9 – mx, donde y es el valor de ventas en el año x y m la pendiente que equivale a la media de disminución de 2008 a 2014.

En este caso vemos que es muy importante entender qué es la pendiente de una recta y estamos haciendo conexiones entre el concepto de pendiente de una recta y el concepto de función lineal.

PISA puntúa esta actividad con dificultad moderada (Nivel 4) si categorizamos correctamente las 3 afirmaciones. Si, por el contrario, categorizamos correctamente solo 2 de las 3 afirmaciones, nos puntúa con el nivel 1a. La puntuación es muy estricta y sitúa a cualquier alumno que haya cometido el mínimo error en el nivel más bajo.

Vamos a la pregunta 2 de este problema. Esta es de mayor dificultad. Nos piden en qué año se venderá menos de 1 millón de DVDs, si la tendencia se mantiene. Nos dan la expresión de la recta:

d = 254 -22n

Donde d es el valor de ventas en el año n.

Para saber el año, primero necesitamos encontrar cuántos años tienen que pasar para que d < 1. Para ello, resolvemos la expresión 1 = 254 -22n, y obtenemos que n = 11,5.

En este caso, la respuesta se introduce en un campo de texto. No hay selección múltiple.

Podrían suceder varias cosas:

• El alumno introduce el valor 11,5, olvidando que el valor n son fechas relativas (es decir, cuántos años han pasado desde 2008)
• El alumno recuerda que se trata de fechas relativas, e introduce el valor 2019,5 (la suma de 2008 + 11,5)
• El alumno convierte el resultado 11,5 a año natural (12) y lo suma a 2008, introduciendo 2020 como respuesta

PISA valora la dificultad de esta actividad con un Nivel 6 en el caso de responder 2020. La penalización por no convertir el resultado a año natural (es decir, respuesta 2019 o 2019,5) es ligera, situando el resultado en Nivel 5.

En este caso me ha sorprendido, porque resolver una inecuación, encontrando la antiimagen de un valor dado, en realidad podríamos considerarlo procedimental, pero en este caso, como no es propiamente de temario de 15 años para todos los países, se podría considerar que el alumno que lo resuelve está poniendo en juego resolución de problemas, interpretación de representaciones, y, por lo tanto, procesos. Y esto consolida la idea de que cuando un alumno aún no conoce ni tiene automatizada una técnica para resolver un ejercicio, la situación aún es problemática, y para resolverla, el alumno tiene que poner en juego los procesos matemáticos.

La última pregunta es más simple que la anterior y nos pide analizar las tendencias en un gráfico de puntos. A los datos del gráfico anterior se añaden las ventas de DVD por año desde 1997, y el eje horizontal pasa a ser de valores absolutos. Además, nos da una parte como ejemplo: los años 2008 al 2014 que hemos estudiado a fondo en las preguntas anteriores.

Primero, la tendencia entre 1998 – 2004, donde podemos observar una distribución claramente no lineal. Empieza lentamente del 1998 al 2000 y se dispara del 2001 al 2004 intuyendo que podría ser cuadrática. Las respuestas correctas son creciente y no-lineal.

Entre los años 2005 – 2007, la tendencia sigue creciendo pero esta vez sí, de forma lineal.

PISA sitúa esta actividad como Nivel 3 si acertamos todo, o Nivel 1a si acertamos como mínimo las dos opciones de uno de los tramos.

Si nos fijamos, en este problema también se trata de entender conceptualmente que es un crecimiento o decrecimiento lineal.