En aquesta ocasió, el context real d’aquest problema és l’evolució de les compres de DVD al Regne Unit entre els anys 2008 i 2014. Ens presenten un gràfic interactiu (situant el cursor damunt de cada punt es mostra el valor exacte). A més, en l’eix horitzontal es mostra no l’any (valor absolut), sinó el nombre d’anys transcorreguts des del 2008 (valor relatiu).

A la primera pregunta ens presenten 3 afirmacions i ens demanen determinar, per a cadascuna, si són veritables o falses.

Llegim la primera: “El número de DVD venuts va disminuir aproximadament un 50% des de 2008 fins a 2014.” És a dir, la variació de vendes entre el 0 (2018) i el 6 (2014) de l’eix horitzontal.

Podem verificar-ho per inspecció directa: el nombre de vendes de l’any 2014 és de 124,9 (és a dir, aproximadament 125), i el de l’any 2008 és de 252,9 (aproximadament 250). És a dir, que la disminució és d’aproximadament 50%.

Llegim la segona: “El número de DVD venuts va disminuir la mateixa quantitat cada any des de 2008 fins a 2014.”

En aquesta pregunta em vaig equivocar. L’enunciat és FALS. A simple vista en la imatge, sembla una distribució lineal, però si mirem detalladament el valor de cada punt i anem realitzant cada diferència, veiem que hi ha anys que decreixen significativament més que uns altres. I clar, ens adonem que en aquest cas, a l’enunciat no diuen “aproximadament”. Com venim de fer diversos problemes que es poden resoldre amb estimacions, pot portar a error fàcilment.

A la taula podem veure que existeix una diferència important entre l’any amb menor variació (18,3 milions) i l’any amb més (29,8 milions), constatant que l’enunciat és FALS. El fet que l’escala sigui de milions, també fa que vegem que realment les diferències són significatives.

Anem per la tercera afirmació: “El pendent de la línia representa la disminució mitjana anual de les vendes de DVD des de 2008 fins a 2014.”

Aquí ens trobem amb una altra afirmació veritable. L’expressió analítica que defineix la recta és: i = 252,9 – mx, on “i” és el valor de vendes l’any x i “m” el pendent que equival a la mitjana de disminució de 2008 a 2014.

En aquest cas veiem que és molt important entendre què és el pendent d’una recta i estem fent connexions entre el concepte d’arracada d’una recta i el concepte de funció lineal.

PISA puntua aquesta activitat amb dificultat moderada (Nivell 4) si categoritzem correctament les 3 afirmacions. Si, per contra, categoritzem correctament només 2 de les 3 afirmacions, ens puntua amb el nivell 1a. La puntuació és molt estricta i situa a qualsevol alumne que hagi comès el mínim error en el nivell més baix.

Anem a la pregunta 2 d’aquest problema

La pregunta 2 és de major dificultat. Ens demanen en quin any es vendrà menys d’1 milió de DVD, si la tendència es manté. Ens donen l’expressió de la recta:

d = 254 -22n

On “d” és el valor de vendes l’any n.

Per saber l’any, primer necessitem trobar quants anys han de passar perquè d < 1. Per a això, resolem l’expressió 1 = 254 -22n, i obtenim que n = 11,5.

En aquest cas, la resposta s’introdueix en un camp de text. No hi ha selecció múltiple.

Podrien succeir diverses coses:

• L’alumne introdueix el valor 11,5, oblidant que el valor n són dates relatives (és a dir, quants anys han passat des de 2008)
• L’alumne recorda que es tracta de dates relatives, i introdueix el valor 2019,5 (la suma de 2008 + 11,5)
• L’alumne converteix el resultat 11,5 a any natural (12) i ho suma a 2008, introduint 2020 com a resposta.

PISA valora la dificultat d’aquesta activitat amb un Nivell 6 en el cas de respondre 2020. La penalització per no convertir el resultat a any natural (és a dir, resposta 2019 o 2019,5) és lleugera, situant el resultat en Nivell 5.

En aquest cas, m’ha sorprès, perquè resoldre una inequació, trobant l’antiimatge d’un valor donat, en realitat podríem considerar-lo procedimental, però en aquest cas, com no és pròpiament de temari de 15 anys per a tots els països, es podria considerar que l’alumne que el resol està posant en joc resolució de problemes, interpretació de representacions, i, per tant, processos. I això consolida la idea que quan un alumne encara no coneix ni té automatitzada una tècnica per a resoldre un exercici, la situació encara és problemàtica, i per a resoldre-la, ha de posar en joc els processos matemàtics.

L’última pregunta és més simple que l’anterior i ens demana analitzar les tendències en un gràfic de punts. A les dades del gràfic anterior s’afegeixen les vendes de DVD per any des de 1997, i l’eix horitzontal passa a ser de valors absoluts. A més, ens dona una part com a exemple: de l’any 2008 al 2014 que hem estudiat a fons a les preguntes anteriors.

Primer, la tendència entre 1998 – 2004, on podem observar una distribució clarament no lineal. Comença lentament del 1998 al 2000 i es dispara del 2001 al 2004 intuint que podria ser quadràtica. Les respostes correctes són creixents i no-lineal.

Entre els anys 2005 – 2007, la tendència continua creixent però aquesta vegada sí, de manera lineal.

PISA situa aquesta activitat com a Nivell 3 si ho encertem tot, o Nivell 1a si encertem com a mínim les dues opcions d’un dels trams.

Si ens fixem, en aquest problema també es tracta d’entendre conceptualment què és un creixement o decreixement lineal.