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Il potenziale della matematica in classe
La lezione va avanti come sempre, con momenti di sforzo e frustrazione e momenti di divertimento e scoperta. Finché, subito dopo il suono della campanella, Ariane si avvicina alla cattedra per farmi vedere ciò che ha scritto sul suo quaderno… Ma prima di parlarvene, lasciate che vi dia un po’ più di contesto.
Nel corso della lezione precedente avevamo utilizzato uno schema simile per scoprire il risultato di 20: ogni volta che l’esponente diminuisce di una unità il risultato viene diviso per 2, allora il risultato di 20 deve essere il risultato di 21 diviso per 2, cioè 1.
E infatti, grazie alla scoperta di questa regolarità, avevamo già formulato una generalizzazione e concordato che qualsiasi numero naturale elevato a 0 è uguale a 1. Ma visto che avevamo anche scoperto che lo 0 elevato a qualsiasi numero naturale è uguale a 0, Michele a un certo punto alza la mano e chiede:
«Ma allora, 0 elevato a 0, quanto fa?».
Decidiamo di proporre questa domanda a tutta la classe e da subito emergono due opinioni principali. Un numero consistente di alunni sostiene che 0 elevato a 0 sia uguale a 0, mentre il resto della classe afferma che 0 elevato a 0 sia uguale a 1. Ma chi ha ragione? Senza dubbio, la prima scoperta è stata constatare che, contrariamente a quanto molti pensino, la matematica non è una disciplina finita e perfetta. La comunità matematica non è in grado di dare una risposta al risultato di 0 elevato a 0. Le calcolatrici, addirittura, visualizzano il messaggio “math-error”. Un errore in matematica! L’operazione 0 elevato a 0 non può essere risolta, perché non è ben definita. Questo fatto lascia sempre molti alunni a bocca aperta. Ebbene, sì: ci sono domande matematiche alle quali la matematica non può rispondere! Ma è anche per questo che la matematica è così interessante. Ma facciamo un passo in dietro: cosa aveva scritto Ariane sul quaderno? Ecco qui:
Che peccato, una macchia ha coperto il risultato.
Ma poi arriva il mondo della matematica, un mondo nuovo che è stato scoperto molto tempo fa, ma che non piace a tutti, perché alcuni pensano che in questo mondo ci siano solo calcoli, o cose noiose. Ma pensate davvero che sia così? Non so se agli altri piace (non m’importa più di tanto), perché io adoro la matematica. Voglio soprattutto sapere una cosa e dimostrare (anche solo a me stessa) che, se ci si impegna, si può ottenere qualsiasi cosa. E ho deciso di affrontare la sfida dello 0.
Disquisizioni sullo zero
Ci sono molte cose strane riguardo lo 0: 0 : 0 0 0 Lo 0 stess0
La prima operazione che scrive Ariane è 0 : 0, e non è una coincidenza che sia così. Sostiene che 0 : 0 possa dare come risultato un numero qualsiasi, che questa operazione ha un numero infinito di risposte. La sua argomentazione si basa sul fatto che la divisione è un’operazione inversa alla moltiplicazione, un’idea che gli alunni possono consolidare con l’uso dei quadri di moltiplicazione.
Poiché 1 × 0 = 0; 2 × 0 = 0; 3 × 0 = 0… e qualsiasi numero moltiplicato per 0 è uguale a 0, allora 0 : 0 deve avere come risposta qualsiasi numero. Ha perfettamente senso, no?
La seconda operazione su cui riflette è quella che ha dato vita al dibattito: 00. E badate bene al meraviglioso ragionamento che ha fatto Ariane per arrivare alla risposta, al modo in cui collega l’operazione che vuole decifrare con la costruzione di qualsiasi potenza con esponente 0 su cui abbiamo lavorato in classe.
Per risolvere questa operazione, cioè 00, bisogna fare 0 : 0. Perché 01= 0. Per passare da 01 a 00 bisogna dividere per 0, quindi [00] è uguale a 0 : 0.
Infine, Ariane ha deciso di studiare lo zero stesso.
Lo zero è un numero molto strano. Nei numeri romani lo 0 non c’è. Ma anche se lo 0 esiste, è un numero e allo stesso tempo è “il nulla”. Lo zero [non] rappresenta nulla.
Se volete saperne di più sullo 0, questo video di Numberphile spiega, da un punto di vista più tecnico, i problemi che questo numero solleva in matematica.Bussando alla porta della matematica
Ariane pone fine alle sue disquisizioni con una conclusione commovente e piuttosto emozionante, perché comunica di aver capito cos’è la matematica e cosa significa fare matematica. E, in fin dei conti, si è sentita chiamata a indagare su questo mondo.
Sono venuta al mondo per infastidire la gente!
Ho sempre pensato che la matematica fosse “regolare”. Ma ora so che non è tutto “guarda, questo dà questo”, “dà questo perché: sono dispari, o perché se moltiplichi questo per questo”…. Ma non tutto ciò che è matematica ha senso. E c’è un numero che rende questa affermazione vera. Questo numero è lo 0. La matematica sarebbe molto noiosa senza lo 0.
Come vedete, per porsi domande e indagare sulla matematica non è necessario arrivare a studiare i contenuti dei corsi superiori: si può fare matematica sofisticata anche con contenuti elementari. Con gli stessi contenuti studiati da Ariane, e senza fare spoiler sulle scoperte che sicuramente continueranno a stupirla in futuro, siamo stati in grado di portare la conversazione a un livello più profondo, a un ambito di ricerca molto interessante. Che una ragazzina di 11 anni si senta chiamata a fare matematica da sola è un fatto che non possiamo far passare inosservato. Un fatto che bisogna apprezzare. E ora abbiamo una grande responsabilità: alimentare e mantenere questa fiamma sempre viva, perché continui a illuminare il cammino degli alunni (e perché no…di noi insegnati!) verso la scoperta del mondo.
