Skip to content

El nombre zero: reptes i oportunitats

nombre zero

Taula de continguts

La potència de l’aula de matemàtiques

Un dimecres a les 9 del matí entro a l’aula de 6è per treballar amb potències. En aquesta sessió, concretament, descobrirem alguns dels patrons que apareixen quan calculem potències d’una mateixa base. Per exemple, ens adonarem que, en les unitats de les potències de 2, es va repetint el patró: 2, 4, 8, 6.

Potències

La classe transcorre amb l’extraordinària normalitat de sempre, amb moments d’esforç i frustració, i moments de gaudi i descoberta. Fins que sona el timbre i l’Ariane comparteix amb mi el que ha estat escrivint a la llibreta de matemàtiques… Però per entendre-ho bé, necessitem una mica més de context.

En la classe anterior havíem utilitzat un patró similar per descobrir el resultat de 20: Com que, cada vegada que l’exponent disminueix en una unitat, el resultat es divideix entre 2, el resultat de 20 ha de ser el resultat de 21 dividit per 2, és a dir, 1.
Potències 0I de fet, gràcies a la descoberta d’aquest patró, vam generalitzar que qualsevol nombre natural elevat a 0 és 1. Però, llavors, com que també havíem descobert que 0 elevat a qualsevol nombre natural és 0, en Miquel va alçar la veu per plantejar la gran pregunta:

«Aleshores, 0 elevat a 0, quant és?»

Vam plantejar la pregunta a tota la classe i van sorgir dues opinions majoritàries. Els que pensaven que 0 elevat a 0 havia de ser 0, i els que pensaven que 0 elevat a 0 havia de ser 1. Qui tenia raó?

En aquell moment vam descobrir que, en contra del que molta gent pensa, les matemàtiques no són una disciplina acabada i perfecta. La comunitat matemàtica ha estat incapaç de donar una resposta al resultat de 0 elevat a 0. De fet, les calculadores retornen el missatge de «math-error». Error en les matemàtiques! L’operació 0 elevat a 0 no es pot fer, perquè no està ben definida. Això va deixar un regust agredolç a molts alumnes: hi ha preguntes matemàtiques per a les quals no tenim resposta! Però és precisament això el que les fa extremadament interessants.

Mentrestant, l’Ariane havia escrit a la seva llibreta el següent:

nombre zero

Quina pena, una taca ha tapat el resultat

 

El nombre zero

Però per això arriba el món de les matemàtiques, un nou món que van descobrir fa temps, però que no a tothom li agrada, perquè creu que dintre d’aquest món només hi ha càlculs, o coses avorrides. Però de debò creieu que és veritat? No sé si als altres els agraden o no (tampoc m’importa molt), perquè a mi m’encanten les mates. Sobretot vull saber una cosa i demostrar (encara que sigui a mi mateixa) que si t’ho proposes pots aconseguir qualsevol cosa. I jo m’he proposat el repte del 0.

Disquisicions sobre el zero

En aquella classe, les discussions dels companys havien despertat en l’Ariane un interès genuí per aquest nombre estrany, i va sentir la necessitat d’estudiar i escriure tot allò que feia el 0 tan especial. Va centrar el seu estudi en tres parts:


El nombre 0

Hi ha moltes coses rares del 0:

0 : 0

00

El mateix 0


La primera operació sobre la qual escriu l’Ariane és 0 : 0, i no és casualitat que sigui així. Ella afirma que 0 : 0 pot ser qualsevol nombre, que la quantitat de respostes que té són infinites. El seu argument es basa a entendre la divisió com l’operació inversa de la multiplicació, una idea que podem consolidar amb els alumnes gràcies a l’ús de les capsetes multiplicatives.


El nombre 0


Com que 1 × 0 = 0; 2 × 0 = 0; 3 × 0 = 0… i qualsevol nombre multiplicat per 0 és 0, aleshores 0 : 0 té com a resposta qualsevol nombre. Fa tot el sentit del món, oi?

La segona operació que planteja és la que ho va desencadenar tot: 00. I fixeu-vos en l’argument tan meravellós que utilitza l’Ariane per arribar a la resposta, com connecta l’operació que vol desxifrar amb la construcció sobre qualsevol potència amb exponent 0 treballada a l’aula.


El nombre 0

Per fer això [l’operació 00] has de fer 0 : 0. Perquè 01 = 0. Per passar de 01 a 00 divideixes entre 0, llavors [00] dona el mateix que 0 : 0.


El nombre 0

La tercera causa d’estudi és el mateix zero.

El zero és un nombre molt estrany. En els nombres romans no existeix el 0. Però encara que existeixi el 0, és un nombre però és «la nada». El zero [no] representa res.

Si us heu quedat amb ganes de saber més coses sobre el 0, aquest vídeo, de Numberphile, explica, des d’un punt de vista més tècnic, els problemes que suposa aquest nombre dins de les matemàtiques.

Tocant la porta a les matemàtiques

L’Ariane acaba les seves disquisicions amb una conclusió final que emociona. Emociona perquè transmet que ha entès què són les matemàtiques i què vol dir fer matemàtiques. I s’ha sentit cridada per investigar aquest món.

 

El nombre 0

Vinc al món per molestar la gent!

Fins ara jo pensava que les mates eren «regulars». Però ara sé que no és tot «mira, això dona allò», dona allò perquè: són senars, o perquè si multipliques… Però no tot a les mates té sentit. Hi ha un nombre que és el que ho fa. Aquest nombre és el 0. Les mates serien molt avorrides sense el 0.

 

Com veieu, per plantejar investigacions matemàtiques d’allò més rellevants, no cal avançar continguts de cursos superiors: es poden fer matemàtiques sofisticades amb continguts elementals. Amb els continguts que li pertoquen a l’Ariane —és a dir, sense fer cap espòlier de les descobertes que, ben segur, la continuaran meravellant en un futur— hem estat capaços d’oferir-li una recerca interessant. Que una persona d’11 anys se senti cridada a fer matemàtiques pel seu compte és un fet que no podem passar per alt. Un fet que hem de valorar moltíssim. I ara tenim una gran responsabilitat: hem de procurar mantenir viu aquest foc que s’ha encès i que permet il·luminar una mica més les nostres vides.

  • Marc Caelles

    Matemàtic de formació i professor de matemàtiques per vocació. Actualment, és professor de matemàtiques de primària i secundària a l’Escola Sant Gregori. Combina la seva tasca docent amb la formació del professorat i la creació de continguts al departament didàctic d’Innovamat.

Entrades recents

Subscriu-te al butlletí

Rep totes les nostres novetats i continguts exclusivament al teu correu.