22/7. Giorno dell'Approssimazione di Pi Greco
Il 22 luglio è il Giorno dell’Approssimazione di Pi Greco! Questo giorno è noto anche come Casual Pi Day. Volete sapere perché?
Il Pi greco è il 14 marzo, poiché questa data, espressa nel formato statunitense, corrisponde a 3/14 (3,14), ossia alle prime tre cifre del famoso numero irrazionale. Si festeggia anche il 22 luglio. La data, rappresentata come 22/7, rappresenta una frazione il cui risultato si avvicina al valore di pi greco. A dirla tutta, si avvicina di più rispetto a 3,14!
22/7 = 3,142857142…
|π-22/7| < |π-3,14|
La costante π definisce una delle relazioni più semplici della geometria: il rapporto tra il perimetro di un cerchio e il suo diametro. Il valore della costante è stato ottenuto da vari calcoli eseguiti nel corso della storia, da una prospettiva geometrica. In realtà, le approssimazioni di pi greco sono note da quasi quattromila anni. La domanda è: cosa si nasconde dietro queste approssimazioni? Quali sono i precedenti storici più conosciuti nella ricerca del pi greco?
Le approssimazioni di pi greco nell'Età antica
Vale la pena fare alcune considerazioni preliminari per comprendere il contesto dell’Età antica. L’Età antica è il periodo compreso tra l’invenzione della scrittura, intorno al 3300 a. C., e la caduta dell’Impero Romano, nell’anno 476 a. C. Fu un’epoca di grandi progressi culturali e scientifici che vide la nascita delle prime civiltà, tra cui i Mesopotamici, i Sumeri, gli Assiri e i Babilonesi, le civiltà dell’antico Egitto, dell’antica Grecia e dell’antica Cina. Durante questo periodo, queste civiltà svilupparono la scrittura e, per estensione, la scrittura della numerazione. La logica alla base dei calcoli, e per estensione della matematica, era ingegnosa ed eminentemente pragmatica. Ad esempio, l’amministrazione delle città antiche richiedeva un registro per la gestione delle risorse, delle tasse, ecc. A questo scopo, venivano utilizzati piccoli pezzi di argilla o gettoni di diverse forme geometriche per rappresentare una quantità specifica di un determinato oggetto. In altre parole, non si faceva differenza tra il numero da rappresentare e l’oggetto da contare.
In particolare, l’invenzione della numerazione scritta avvenne nella città sumera di Uruk nel 3000 a. C., quando si passò dal contare con pezzi di argilla al disegnare le figure su tavolette di argilla fresca, in modo che quando si asciugavano, il numero restasse impresso. Ed è proprio da qui che inizia a svilupparsi la trama della serie di Innovamat per la scuola secondaria, Il viaggio di Sam. Cominciamo il primo anno di Scuola secondaria riflettendo sul nostro sistema di numerazione e confrontandolo con il sistema di numerazione sumera.
Gli antichi babilonesi, considerati da molti i padri della matematica assieme ai sumeri, furono i primi ad approssimare il valore π. Lo fecero nel periodo compreso tra il 1900 a. C. e il 1680 a. C. La nostra concezione del cerchio è molto diversa dalla loro, poiché per noi si tratta del luogo geometrico descritto da tutti i punti del piano che sono equidistanti da un punto centrale. È sulla base di questa idea che abbiamo sviluppato i concetti di circonferenza, cerchio e raggio. Invece, i Babilonesi consideravano il cerchio come la figura risultante dalla rotazione che fa il raggio mantenendo una delle sue estremità fissa al centro della circonferenza. I loro calcoli, effettuati per mezzo di corde e pali, diedero a π il valore di 3, e notarono che questa relazione tra lunghezza e raggio era applicabile a qualsiasi cerchio. Nel corso degli anni si arrivò a un calcolo più preciso, che aprì le porte al mondo dei numeri decimali, di π = 3 + ⅛ = 3,125, un’approssimazione trovata su un’antica tavoletta babilonese, la famosa tavoletta di Susa.
Circa nello stesso periodo del ritrovamento babilonese, anche i loro vicini sulle rive del Nilo, dell’antico Egitto, arrivarono a un’approssimazione di π. Se la lettura della scoperta babilonese del pi greco ci dà un’approssimazione decimale, l’approccio egiziano ci dà un’approssimazione frazionaria. È giusto dire, sulla falsariga di quanto detto per i Babilonesi, che il concetto di frazioni nell’antico Egitto non è lo stesso del nostro, poiché gli Egizi le scrivevano tutte come somma di frazioni unitarie (1/n, dove n è un numero naturale). L’approssimazione egiziana di π è stata rinvenuta nel Papiro Rhind, un papiro ritrovato nell’antica città egizia di Tebe (l’attuale Luxor), acquisito dall’avvocato scozzese Alexander Henry Rhind nel 1858. Questo papiro, firmato dallo scriba Ahmes, contiene 87 problemi matematici, uno dei quali contiene un’approssimazione indiretta a π. Questo problema stabiliva che un quadrato di lato 8 era equivalente in superficie a un cerchio di diametro 9 (l’unità di misura utilizzata era la khet, circa 50 metri). Se convertiamo questa relazione in una formula, otteniamo la seguente approssimazione:
Colui che fece realmente un calcolo preciso fu Archimede di Siracusa (287 a. C.-212 a. C.), il grande matematico dell’antichità, che è anche uno dei personaggi principali della serie di scuola secondaria Il viaggio di Sam! Archimede specificò i limiti tra i quali si trovava la soluzione, in modo da raggiungere, avanzando nel calcolo, un grado di precisione maggiore. Questo modo di lavorare è noto come metodo esaustivo. Euclide, il predecessore di Archimede, aveva già scoperto, un secolo prima, che esisteva una relazione di proporzionalità tra l’area di un cerchio e il quadrato del suo raggio, e che questa relazione valeva per cerchi di raggio diverso. Sulla base di questa logica euclidea, Archimede propose ingegnosamente la sua approssimazione di π. Lo fece disegnando un primo poligono regolare inscritto e un secondo poligono regolare circoscritto alla stessa circonferenza, in modo che la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio fossero delimitate dagli stessi valori delle lunghezze e aree dei due poligoni. L’approssimazione diventa più precisa con l’aumentare del numero di lati di questi poligoni. In questo senso, Archimede arrivò a calcolare queste aree con poligoni di 96 lati ciascuno, approssimando che il valore di π doveva essere trovato tra 3 + 10/71 (circa 3,1408) e 3 + 1/7 (circa 3,1429), con un errore tra lo 0,024 % e lo 0,040 % rispetto al valore reale. Ma attenzione! Esprimendo questi valori in frazioni, si ottiene che 222/71 < π < 22/7 → in effetti! Il nostro Giorno dell’Approssimazione di Pi!
Queste sono le approssimazioni più rilevanti di pi greco prodotte nell’antichità, ma anche molti matematici in tutto il mondo hanno dato, in un modo o nell’altro, il loro contributo in luoghi e tempi diversi. Sono proprio l’ingegno e la curiosità umana che grazie alla sperimentazione ci permettono di fare enormi progressi! Oggi il pi greco è ancora sotto l’occhio attento di ricercatori e matematici, ma le corde, i paletti e le pergamene del passato sono stati sostituiti da supercomputer in grado di calcolare milioni di decimali di pi greco. Oggi il supercomputer del Team DAViS della University of Applied Sciences of the Grisons detiene il record, essendo stato in grado di calcolare fino a 62 831 853 071 796 decimali di pi greco nel 2021.
Cosa possiamo fare in classe per trovare il π ?
Un modo molto arricchente per scoprire il π in classe (o a casa) è utilizzare gli oggetti a disposizione nell’ambiente in cui ci troviamo e scoprire che il rapporto tra il perimetro di un cerchio e il suo diametro è π. Possiamo chiedere agli studenti di cercare la circonferenza di oggetti che usano quotidianamente, ad esempio, bicchieri, tappi, orologi… Possiamo adattare e arricchire l’attività, chiedendo agli studenti di cercare circonferenze più grandi, come quella di una ruota o del cerchio centrale di un campo sportivo.
Una volta identificata la circonferenza di questi oggetti, consigliamo agli alunni ci calcolarne perimetro e diametro, e di annotare i risultati ottenuti. È importante ricordare agli alunni l’importanza di misurare il diametro da un lato all’altro della circonferenza, passando per il suo centro.
Con l’aiuto di una calcolatrice, chiediamo loro di dividere i risultati ottenuti, cioè di dividere il perimetro per il diametro. Osserviamo con gli alunni i risultati delle diverse circonferenze calcolate, con l’obiettivo di scoprire che la divisione dà sempre un risultato vicino a 3.
Sulla base di questi dati, apriamo una conversazione con spiegando che π è la costante che mette in relazione il diametro e il perimetro di qualsiasi circonferenza. Chiariamo che π è un numero vicino a tre e irrazionale, cioè con un numero infinito di cifre decimali. Potremmo andare ancora più a fondo nella scoperta, studiando alcuni aspetti statistici, confrontando, ad esempio, le informazioni raccolte con il valore effettivo di π.
In questo modo, attraverso l’osservazione e la sperimentazione della realtà che ci circonda, possiamo rendere comprensibile il concetto di pi greco. I ragionamenti che precedono e seguono le nostre approssimazioni ci avvicinano notevolmente a quelli che sono stati prodotti nel corso della storia per comprendere il mondo che ci circonda.
