Albert Saumell
22/7. Pi-rantz hurbilketa eguna
Uztailaren 22a Pi-rantz Hurbilketa eguna da! Egun honi Ustekabeko Pi eguna edo Pi Arkimediarraren eguna ere esaten zaio. Baina ba al dakizue zergatik?
Pi eguna martxoaren 14an ospatzen da, data hau Estatu Batuetako formatuan adierazten baita. 3/14 da (3,14), hau da, zenbaki irrazional ospetsuaren lehen hiru zifrak. Hala ere, uztailaren 22an ere ospatzen da. Data, 22/7, zatiki bat bezalakoa baita, zeinaren emaitza pi-ren balioari hurbiltzen zaion. Izan ere, 3,14 baino gehiago hurbiltzen da!
22/7 = 3,142857142…
|π-22/7| < |π-3,14|
π konstanteak geometriaren erlazio sinpleenetako bat definitzen du: zirkunferentzia baten perimetroaren eta diametroaren ateko koefizientea. Konstantearen balioa historian zehar, ikuspegi geometriko batetik egindako kalkulu desberdinen bidez lortu izan da. Duela ia lau mila urte hain zuzen ere. Baina koska honakoa da: zer dago hurbilketa horien atzean? Zer aurrekari aurkitu ditugu gizateriaren historian Pi-ren aurkikuntzari dagokionez?
Antzinako aroko pi-rako hurbilketak
Antzinaroa testuingurua ulertzeko, zenbait gogoeta egitea beharrezkoa da. Idazketa asmatu zenetik (K.a. 3300. urtetik gutxi gorabehera), erromatar inperioaren erorketa arte (K. a. 476. urtean) aurrerapen kultural eta zientifiko asko izan ziren, lehen zibilizazioen sorrera ekarriz. Hala nola, mesopotamiarrak, sumertarrak, asiriarrak eta babiloniarrak, antzinako Egipto, antzinako Grezia eta antzinako Txina. Aldi horretan, zibilizazio hauek idazketa eta konkretuki zebakien idazketa garatu zuten. Haien kalkuluen atzean dagoen logikak, eta hortaz haien matematikek, adimen handia erakusten dute eta nagusiki pragmatikotasuna. Adibidez, antzinako hirietako administrazioek erregistro baten beharra zuten baliabideak, zergak eta abar kudeatzeko. Honetarako, forma geometriko desberdineko buztinezko pieza edo fitxa txikiak erabiltzen zituzten objektu jakin baten kopuru espezifiko bat irudikatzeko. Bestela esanda, ez zen irudikatu beharreko zenbakiaren eta kontatzen ari ziren objektuaren arteko breizketarik egiten.
Konkretuki, zenbaki idatziaren asmakuntza Uruk sumerko hirian gertatu zen, K.a. 3000. urtean. Buztinezko piezak edukitzetik irudiak buztinezko oholtxo freskoetan marraztera igaro zirenean, lehortzean zenbakia erregistratuta geratzen zelarik. Eta horixe da, hain zuzen ere, Innovamat-en Bigarren Hezkuntzako ibilbearen abiapuntua, Samen Bidaia, zeinarekin DBHko 1. mailako ikasturteari ekingo diogun, gure zenbaki-sistemari buruz hausnartuz eta zenbakitze sumertarrarekin alderatuz.
Antzinako babiloniarrak, sumertarrekin batera matematikaren gurasotzat hartzen zituztenak, K.a. 1900. eta K.a. 1680 urteen arteko aldian π balioa hurbiltzen lehenengoak izan ziren. Zirkuluaren gure kontzeptua haienetik oso urrun dago, guk erdiko puntu batetik aldentzen diren planoko puntu guztiak deskribatzen dituen irudi geometrikotzat hartzen baitugu. Honegatik, zirkunferentzia, zirkulu eta erradio kontzeptuak ulertzen ditugu. Babiloniarrek ordea, zirkulua, zirkunferentziaren erdian mutur bat finko mantenduz erradioa biraraztean sortzen zen irudia zela uste zuten. Haien ari eta hesolen bidez eginiko kalkuluek, luzera eta erradioaren arteko erlazio hori edozein zirkulutan mantentzen zela ikusita, 3ko balioa ematen zioten π-ari. Urteek aurrera egin ahala, kalkulu zehatzagoa lortzen joan ziren mundu hamartarrari ateak irekiz, babilonia zaharreko Susa oholtxo famatuan aurkitutako hurbiketara: π = 3 + ⅛ = 3,125.
Babiloniako aurkikuntzaren urte beretan gutxi gorabehera, Nilo ibaiaren ertzean kokatutako Egipto zaharrean zeuden bizilagunak ere hurbildu ziren π-ra. Babiloniarrek pi-ren aurkikuntzaren irakurketak hurbilketa hamartarrera eramaten badigu, egiptoar planteamenduak zatikien bidezko hurbilketa ematen digu. Babiloniarrekin egindako zehaztapenaren ildo beretik, antzinako Egiptoko zatikien kontzeptua eta gurea ez ziren berdinak, egiptoarrek zatiki unitarioen batuketa gisa idazten baitzituzten guztiak (1/n, non n zenbaki naturala den). Egiptoarrek π-ra eginiko hurbilketa, Alexander Henry Rhind abokatu eskoziarrak 1858. urtean erosi zuen Tebas hirian (gaur egun Luxor) aurkitutako papiroan, Rhind-en papiroa bezala ezagutuan jaso zen. Ahmes eskribauak sinatutako papiro horrek 87 probelma matematiko zituen, eta horietako bat zeharka π-ra gerturatzen zena. Probloema horrek, aldeetan 8 khets zituen karratu bat eta 9 khets-eko diametroko zirkulu bat azaleran baliokideak zirela zioen (khets batek 50 metro inguru zituen). Erlazio hori formula bihurtzen badugu, hurbilketa honetara iritsiko ginateke:
Benetan kalkulu zehatz bat egitera iritsi zena Sirakusako Arkimedes izan zen (K.a. 287- K.a. 212), antzinateko matematikari handia, Bigarren Hezkuntzako protagonistetako bat ere badena Samen Bidaian! Arkimedesek zehaztasun-maila handia lortu zuen, soluzioaren mugak zehaztu baitzituen eta kalkuluan sakondu ahala, zehaztasun handiagoa lortzen joan zen. Lan egiteko modu horri metodo sakona/zehatza deritzo.
Euklidesek, Arkimedesen aurrekoak, mende bat lehenago zirkuluaren eremuaren eta bere erradioaren karratuaren artean proportzionaltasun erlazio bat zegoela aurkitu zue, eta hau erradio desberdinetako zirkuluetan mantentzen zela. Logika euklidear horretatik abiatuta, Arkimedesek oso modu burutsuan proposatu zuen π-ra hurbilketa. Lehen poligono erregular inskribatu bat marraztu zuen, bai eta zirkunferentzia berera mugatutako bigarren poligono erregular bat ere, zirkunferentziaren luzera eta zirkuluaren azalera bi poligonoen luzeren eta eremuen balio berberen bidez mugatuta gera zitezen. Hurbilketa zehatzagoa bihurtzen da poligono horien alde kopurua handitzean.
Honela, Arkimedes 96 aldeko poligono batek zuen azalera kalkulatuzera irtsi zen, eta gutxi gorabehera π-ren balioa 3 + 10/71 (3,1408 inguru) eta 3 + 1/7 ren (3,1429 inguru) egon behar zuela ondorioztatu zuen. Hau da, % 0,024 eta % 0,040 arteko errorea benetako balioarekiko. Eta adi! Balio horiek zatikitan adieraz gero, 222/71 < π < 22/7 → Hori da! Gure Pi-ra Hurbilketa Eguna!
Hauek dira antzinatean sortutako pi-ra eginiko hurbilketarik garrantzitsuenak, baina mundu osoko matematikari asko ere hurbildu ziren era batera edo bestera leku eta une desberdinetan. Izan ere, esperimentaziotik abiatutako giza adimenak eta jakin-minak, mundua hobetzen du! Gaur egun, pi zenbakia oraindik ikertzaileen eta matematikaren agendan dago, baina iraganeko sokak, hesolak eta pergaminoak milioika pi-hamartar kalkulatzeko gai diren superordenagailuekin ordezkatu dira. Gaur egun, Team DAViS of the University of Applied Sciences of the Grisons delakoaren superordenagailuak du errekorra, eta 2021ean 62 831 853 071 796 hamartar kalkulatu ahal izan zituen.
Nola landu dezakegu π -ren aurkikuntza ikasgelan?
Ikasgelan (edo etxean) π aurkitzeko modu oso aberasgarria da inguruko elementuak manipulatzea eta zirkunferentzia baten perimetroaren eta bere diametroaren arteko erlazioa nolakoa den jakitea. Hortik aurrera, eguneroko bizitzan zirkunferentziak bilatzea proposa diezaiekegu ikasleei, hala nola edalontzi bat, tapoi baten ertza, erloju bat… Jarduera aberatsagoa egiteko, egokitu egin dezakegu eta ikasleei zirkunferentzia handiagoak bilatzeko eska diezaiekegu, hala nola gurpil bat edo kirol-zelai baten erdiko zirkulua.
Objektu horien zirkunferentziak identifikatu ondoren, ikasleei perimetroa eta diametroa neurtzeko eta lortutako datuak idazteko eskatuko genieke. Garrantzitsua da, ikasleei diametroa neurtzeko zirkunferentziaren alde batetik bestera erdigunetik pasatzea ezinbestekoa dela azpimarratzea.
Kalkulagailu bat erabiliz, lortutako emaitzak zatitzeko eskatuko genieke, hau da, perimetroa diametroarekin. Kalkulatutako zirkunferentzia ezberdinen emaitzen behatuz, gogoeta egiteko aholkatuko diegu, zatiketa beti 3 ingurukoa izango dela deskubritu dezaten.
Hortik aurrera, ikasleekin elkarrizketa sustatuko genuke, π edozein zirkunferentziaren diametroa eta perimetroa lotzen dituen konstantea dela azalduz. Zenbaki hori hirutik geertu dagoela eta irrazionala dela argitzen diegu, hau da, bere hamartarrak infinituak direla. Aurkikuntzari sakontasun-geruza bat eman diezaiokegu, estatistikaren ikuspegitarekin erlazionatuz, jasotako informazioa eta benetako π balioa alderatuz.
Eta, horrela, inguratzen gaituen errealitatearekiko behaketa eta esperimentaziotik abiatuta, pi-ren kontzeptua ulertaraz dezakegu. Gure hurbilketen aurreko eta ondorengo arrazoiketak historian zehar gertatutakora hurbilduz, inguratzen gaituen mundua ulertzeko.
Laura Ansorena
Marc Caelles
Albert Vilalta
Verónica Sánchez