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El aprendizaje del pensamiento multiplicativo es uno de los retos a los que se enfrentan alumnos y profesores durante todo el ciclo medio de primaria, y tiene continuidad en el ciclo superior y más allá. En este artículo, os presentamos la secuencia didáctica que proponemos en Innovamat.
Al igual que, en una entrada anterior del blog, hablábamos del pensamiento aditivo y revisábamos las cápsulas relacionadas con la suma y la resta, hoy nos adentramos en la multiplicación y la división.
De la mano de Cecilia Calvo y el resto del equipo didáctico analizamos, una a una, las decisiones que hay detrás de la secuencia didáctica. De alguna manera, sintetizamos el contenido de las cápsulas de formación 10, 11, 14 y 15:
→ C10 – Las tablas de multiplicar
→ C11 – El modelo rectangular de la multiplicación
→ C14 – La división: repartir o hacer grupos
→ C15 – El algoritmo de la división
Construcción de las tablas: del modelo de suma iterada al modelo rectangular
En esta cápsula desarrollamos extensamente el procedimiento mediante el cual los alumnos aprenden las tablas de multiplicar.
El proceso de aprendizaje de las multiplicaciones de números menores que 10, que tradicionalmente llamamos tablas de multiplicar, es lento y nos ocupará todo el ciclo medio. Los alumnos han sentado las bases del pensamiento multiplicativo en 1º y 2º de primaria, cuando hacen dobles y mitades y cuando cuentan objetos agrupados. No es hasta ciclo medio, sin embargo, que construimos las tablas y, después, practicamos de manera productiva para automatizarlas.
Rehuimos, al principio, de que la estrategia para aprenderlas sea la memorización por repetición. El proceso de aprendizaje se realiza en 3 fases:
- Construimos las tablas
- Las analizamos buscando patrones y relaciones
- Iniciamos la práctica productiva para automatizarlas.
Más allá de estas fases, conviene tener en cuenta varias consideraciones.
En primer lugar, ponemos al alumno en una situación que reconoce (contar patas de gallinas, ruedas de coche, dedos de la mano, etc.), sin vincularla explícitamente a ninguna tabla de multiplicar y siempre enunciando el número que se repite en segundo lugar (por ejemplo, 3 gallinas con 2 patas, 5 gallinas con 2 patas, 3 coches con 4 ruedas, etc.).
Para favorecer la construcción de las tablas y no el aprendizaje memorístico de entrada, no las presentamos en el orden ascendente tradicional (1 × 3, 2 × 3, 3 × 3, 4 × 3…), sino ordenadas según las habilidades de conteo que deberían tener alcanzadas los niños en cada caso. De esta manera, empezamos por la tabla del 2, seguida de la del 5, y las vinculamos al conteo rítmico de 2 en 2 o de 5 en 5 (destrezas que ya se han trabajado bastante en el primer ciclo). Seguimos con la del 4, cuyos resultados son el doble de los resultados de la tabla del 2; la del 8, con los dobles de la del 4; la del 3, con los resultados de la tabla del 2 más una unidad en cada grupo; la del 6, con los dobles de la del 3; la del 9, a partir de la tabla del 10 menos una unidad en cada grupo, y finalmente construimos la del 7, que ya está construida en los resultados «× 7» de las otras tablas, gracias a la propiedad conmutativa, y que podemos acabar de formalizar a partir de la tabla del 5 si sumamos 2 a cada grupo.
Como ya hemos dicho, el primer contacto con cada una de las tablas tampoco es de forma ordenada ni ascendentemente, para poder descubrir patrones diversos y, después, establecer relaciones con otras tablas.
La regla del 0 y el modelo rectangular
La suma iterada de grupos con la misma cantidad de elementos nos lleva a un modelo de agrupaciones de objetos cotidianos que nos sirve para el conteo en los primeros estadios del pensamiento multiplicativo, pero tiene un recorrido corto. Si no lo complementamos con el modelo rectangular o de área (es decir, entender la multiplicación como una manera de contar más rápidamente elementos situados de manera rectangular y vincularlo con el cálculo de áreas) se hace difícil evidenciar con los alumnos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
En términos de eficiencia y cuando los factores son números mayores que la decena, entra en juego la regla del cero (queremos que el alumno entienda que multiplicar por 10 es como añadir un 0 al número que estamos multiplicando, y se realiza un trabajo específico para conseguirlo).
Una vez trabajado el modelo rectangular, invitamos a los alumnos al siguiente paso en el proceso de abstracción: les presentamos el esquema multiplicativo como representación del modelo rectangular. En la cápsula C11 explicamos el proceso en detalle.
Aunque ya se han establecido las bases de la división en 1º y 2º haciendo mitades y repartos, ahora, una vez sentadas las bases de la multiplicación, empezamos un trabajo más profundo de la división.
Tipos de situaciones en las que interviene la división
Seguimos insistiendo en la idea de que el aprendizaje de las operaciones básicas no tiene nada que ver con el aprendizaje de la ejecución del algoritmo. Es por ello que lo primero que debemos señalar es que la división nos permite resolver dos tipos de contextos diferentes. Aunque la operación que se hace es la misma, no lo es el contexto en el que se aplica, y esto es relevante a la hora de entender el proceso.
- División partitiva: Situaciones de reparto, en las que conocemos el número de elementos que debemos repartir y el número de grupos, y el cociente es el número de elementos de cada grupo. Por ejemplo: tengo 27 lápices para repartir entre 4 personas.
- División cuotativa: Situaciones de agrupamiento, en las que conocemos el número total de elementos que debemos agrupar y el número de elementos que debe tener cada grupo, y queremos saber cuántos grupos podremos hacer. Por ejemplo: tengo 27 lápices y quiero hacer paquetes de 4 lápices.
La importancia del resto
Otra idea en la que profundizamos en las cápsulas es la importancia del resto: en las situaciones cotidianas que planteamos aparece de manera natural. Tanto es así, que el resto puede ser la respuesta a una situación de problema, cuando lo que nos piden es cuántos de los elementos no se han podido agrupar o repartir. El concepto de resto nos permitirá, también, establecer conexiones con la divisibilidad durante el ciclo superior.
Construcción del algoritmo de la división
Reconocemos que el algoritmo es una herramienta potente, pero sabemos que presentado demasiado pronto produce pasividad cognitiva e interfiere en el desarrollo de las destrezas necesarias para el cálculo mental de los alumnos. Por ello, antes de la presentación del algoritmo, basamos el cálculo en la relación que existe entre la división y la multiplicación, trabajamos con cajitas multiplicativas y desarrollamos otras estrategias de cálculo como las deducciones entre hechos conocidos y hechos derivados.
En último término, exploramos la descomposición del dividendo en factores, que no siempre será una descomposición decimal, sino que será una división en función del divisor. Todo este trabajo es básico para construir el algoritmo con solidez.
Así pues, basamos la construcción del algoritmo en el modelo de repartos. Insistimos en la idea de repartir cantidades, y no dígitos, con repartos consensuados y flexibles.
Nos gusta ver cómo, de esta manera, no hay ninguna discontinuidad entre la división con un divisor de una cifra y la de dos cifras, y tampoco en el salto hacia hacer la división decimal.
