22/7. Día de la Aproximación a Pi
¡El 22 de julio es el Día de la Aproximación a Pi! Este día también se conoce como Casual Pi Day o Día de Pi Arquimediano. Pero ¿sabéis por qué?
El Día de Pi es el 14 de marzo, ya que esta fecha, expresada en formato de los EE. UU., es 3/14 (3,14), es decir, las tres primeras cifras del famoso número irracional. Sin embargo, el 22 de julio también se celebra. La fecha, 22/7, es como una fracción cuyo resultado se acerca al valor de pi. De hecho, ¡se acerca más que 3,14!
22/7 = 3,142857142…
|π-22/7| < |π-3,14|
La constante π define una de las relaciones más simples de la geometría: el coeficiente del perímetro de una circunferencia entre el diámetro de esta. El valor de la constante se ha obtenido a partir de distintos cálculos a lo largo de la historia, desde una perspectiva geométrica. De hecho, se conocen aproximaciones a pi desde hace casi cuatro mil años. La cuestión es: ¿qué hay detrás de estas aproximaciones? ¿Qué precedentes hallamos en la historia de la humanidad por lo que respecta al hallazgo de pi?
Las aproximaciones a pi en la Edad Antigua
Vale la pena hacer ciertas consideraciones previas para entender el contexto de la antigüedad. La Edad Antigua es el periodo comprendido entre la invención de la escritura, alrededor del año 3300 a. C., y la caída del Imperio Romano, en el año 476 a. C. Fue una época de gran progreso cultural y científico, y comportó el surgimiento de las primeras civilizaciones. Estas fueron los mesopotámicos, los sumerios, los asirios y los babilonios, el antiguo Egipto, la antigua Grecia y la antigua China. Durante este periodo, estas civilizaciones desarrollaron la escritura y, por extensión, la escritura de la numeración. La lógica que hay detrás de sus cálculos, y por extensión de sus matemáticas, tiene mucho ingenio y es eminentemente pragmática. Por ejemplo, la administración de las ciudades de la antigüedad requería un registro para la gestión de recursos, impuestos, etc. Con este propósito, se utilizaban pequeñas piezas o fichas de arcilla de distintas formas geométricas para representar una cantidad específica de un objeto concreto. Dicho de otra forma, no se diferenciaba entre el número a representar y el objeto que se estaba contando.
En concreto, la invención de la numeración escrita se produce en la ciudad sumeria de Uruk, en el año 3000 a. C., cuando se pasa de contar con piezas de barro a dibujar las figuras en tablillas frescas de arcilla, de forma que al secarse quedaba registrado el número. Y es justamente este hecho el punto de salida de la trama de Secundaria de Innovamat, El Viaje de Sam, con el que empezamos el curso de 1º de la ESO a partir de reflexionar sobre nuestro sistema de numeración comparándolo con la numeración sumeria.
Los antiguos babilonios, considerados por muchos como los padres de las matemáticas conjuntamente con los sumerios, fueron los primeros que aproximaron el valor de π. Lo hicieron en el periodo comprendido entre los años 1900 a. C. y 1680 a. C. Nuestro entendimiento del círculo dista mucho del suyo, ya que nosotros lo entendemos como el lugar geométrico que describen todos los puntos del plano que equidistan de un punto central. De esta forma, entendemos los conceptos de circunferencia, círculo y radio. En cambio, los babilonios consideraban que el círculo era la figura resultante de hacer girar el radio manteniendo uno de sus extremos fijo en el centro de la circunferencia. Sus cálculos, hechos mediante cuerdas y estacas, daban a π el valor de 3, al ver que esta relación entre la longitud y el radio se mantiene en cualquier círculo. Con el paso de los años, obtuvieron un cálculo más preciso y que abría la puerta al mundo decimal, de π = 3 + ⅛ = 3,125, una aproximación hallada en una antigua tablilla babilónica, la famosa tablilla de Susa.
Aproximadamente en los mismos años del hallazgo babilónico, sus vecinos de la orilla del Nilo, el antiguo Egipto, también aproximaron π. Si la lectura del hallazgo de pi por parte de los babilonios nos da una aproximación decimal, el planteamiento egipcio nos da una aproximación fraccional. Justo es decir, en la misma línea de la puntualización hecha con los babilonios, que el concepto de fracciones del antiguo Egipto no es el mismo que el nuestro, pues los egipcios las escribían todas como suma de fracciones unitarias (1/n, donde n es un número natural). La aproximación de π por parte de los egipcios fue recogida en el Papiro de Rhind, un papiro hallado en la antigua ciudad egipcia de Tebas (actual Luxor), adquirido por el abogado escocés Alexander Henry Rhind en el año 1858. Este papiro, firmado por el escriba Ahmes, contenía 87 problemas matemáticos, uno de los cuales aproximaba indirectamente π. Este problema establecía que un cuadrado de lado 8 equivalía en superficie a un círculo de diámetro 9 (la unidad que utilizaban eran los khets, aproximadamente unos 50 metros). Si convertimos esta relación en fórmula, llegamos a la siguiente aproximación:
Quien realmente hizo un cálculo preciso fue Arquímedes de Siracusa (287 a. C.-212 a. C.), el gran matemático de la antigüedad, que ¡también es uno de los protagonistas de la trama de Secundaria en El Viaje de Sam! Arquímedes alcanzó un alto grado de precisión, pues especificaba los límites entre los que se encontraba la solución, de manera que, conforme avanzaba en el cálculo, alcanzaba un mayor grado de precisión. Esta forma de trabajar se conoce como método exhaustivo. Euclides, el antecesor de Arquímedes, ya encontró, un siglo antes, que existía una relación de proporcionalidad entre el área del círculo y el cuadrado de su radio, y que esta se mantenía en círculos de distintos radios. A partir de esta lógica euclidiana, Arquímedes propuso de forma muy ingeniosa su aproximación a π. Lo hizo dibujando un primer polígono regular inscrito y un segundo polígono regular circunscrito a la misma circunferencia, de modo que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedaran acotadas por los mismos valores de las longitudes y áreas de los dos polígonos. La aproximación es más exacta al incrementar el número de lados de estos polígonos. En este sentido, Arquímedes llegó a calcular estas áreas con polígonos de 96 lados cada uno, aproximando que el valor de π se tenía que encontrar entre 3 + 10/71 (aproximadamente 3,1408) y 3 + 1/7 (aproximadamente 3,1429), que supone un error entre el 0,024 % y el 0,040 % respecto al valor real. Y ¡atención! Expresando estos valores en fracciones, obtenemos que 222/71 < π < 22/7 → ¡en efecto! ¡Nuestro Día de la Aproximación a Pi!
Estas son las aproximaciones a pi más relevantes producidas en la antigüedad, pero muchos matemáticos de todo el mundo también se aproximaron a él de una forma u otra en distintos lugares y momentos. Y es que ¡el ingenio y la curiosidad humana, a partir de la experimentación, hacen avanzar el mundo! Actualmente, el número pi aún ocupa la agenda de los investigadores y las matemáticas, pero se han sustituido las cuerdas, las estacas y los pergaminos del pasado por superordenadores capaces de calcular millones de decimales de pi. Hoy en día, el superordenador del Team DAViS of the University of Applied Sciences of the Grisons ostenta el récord, habiendo podido calcular hasta 62 831 853 071 796 decimales de pi en 2021.
¿Cómo podemos trabajar el hallazgo de π en el aula?
Una manera muy enriquecedora de descubrir π en el aula (o en casa) es manipulando los elementos del entorno y descubriendo que la relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es π. A partir de aquí, podemos proponer al alumnado que busquen circunferencias en su vida cotidiana, como por ejemplo un vaso, el borde de un tapón, un reloj… Podemos adaptar la actividad para enriquecerla y pedir al alumnado que busquen circunferencias más grandes, como una rueda o el círculo central de un campo de deportes.
Una vez identificadas las circunferencias de estos objetos, recomendaríamos al alumnado que midan su perímetro y su diámetro y anoten los datos obtenidos. Es importante remarcar al alumnado la importancia de medir el diámetro de lado a lado de la circunferencia y pasando por el centro de esta.
Utilizando una calculadora, pediríamos que dividieran los resultados conseguidos, es decir, el perímetro entre el diámetro. Les sugerimos una reflexión a partir de la observación de los resultados de las distintas circunferencias calculadas, con el objetivo de que descubran que la división siempre da un resultado alrededor de 3.
A partir de aquí, fomentaríamos una conversación con el alumnado explicándoles que π es precisamente la constante que relaciona el diámetro y el perímetro de cualquier circunferencia. Clarificamos que π es un número cercano a tres e irracional, es decir, que tiene infinitos decimales. Podemos dar una capa de profundidad al hallazgo abordándolo desde la perspectiva estadística, comparando la información que hemos recogido con el valor real de π.
Y, de esta forma, a partir de la observación y la experimentación con la realidad que nos rodea, podemos hacer entender el concepto de pi. El razonamiento anterior y posterior a nuestras aproximaciones nos acerca considerablemente al que se ha producido a lo largo de la historia para entender el mundo que nos rodea.
¿Quieres llevarlo al aula?
En la sesión 53: "Día de Pi", de 1º de la ESO, utilizamos un experimento probabilístico para aproximar el número pi en un contexto de celebración.
Pruébala en el aula
