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La potencia del aula de matemáticas
Un miércoles a las 9 de la mañana entro en el aula de 6º para trabajar con potencias. En esta sesión, concretamente, descubriremos algunos de los patrones que aparecen cuando calculamos potencias de una misma base. Por ejemplo, nos daremos cuenta de que, en las unidades de las potencias de 2, se va repitiendo el patrón: 2, 4, 8, 6.
La clase transcurre con la extraordinaria normalidad de siempre, con momentos de esfuerzo y frustración, y momentos de disfrute y descubrimiento. Hasta que suena el timbre y Ariane comparte conmigo lo que ha estado escribiendo en la libreta de matemáticas… Pero, para entenderlo bien, necesitamos un poco más de contexto.
En la clase anterior habíamos utilizado un patrón similar para descubrir el resultado de 20: Como, cada vez que el exponente disminuye en una unidad, el resultado se divide entre 2, el resultado de 20 tiene que ser el resultado de 21 dividido por 2, es decir, 1.
Y de hecho, gracias al descubrimiento de este patrón, generalizamos que cualquier número natural elevado a 0 es 1. Pero, entonces, como también habíamos descubierto que 0 elevado a cualquier número natural es 0, Miquel alzó la voz para formular la gran pregunta:
«Entonces, 0 elevado a 0, ¿cuánto es?»
Planteamos la pregunta a toda la clase y surgieron dos opiniones mayoritarias. Los que pensaban que 0 elevado a 0 tenía que ser 0, y los que pensaban que 0 elevado a 0 tenía que ser 1. ¿Quién tenía razón?
En ese momento descubrimos que, al contrario de lo que mucha gente piensa, las matemáticas no son una disciplina acabada y perfecta. La comunidad matemática ha sido incapaz de dar una respuesta al resultado de 0 elevado a 0. De hecho, en las calculadoras sale el mensaje «math-error». ¡Error en las matemáticas! La operación 0 elevado a 0 no se puede resolver, porque no está bien definida. Esto dejó una sensación agridulce a muchos alumnos: ¡hay preguntas matemáticas para las que no tenemos respuesta! Pero es precisamente esto lo que las hace extremadamente interesantes.
Mientras tanto, Ariane había escrito en su libreta lo siguiente:
Qué pena, una mancha ha tapado el resultado.
Pero por eso llega el mundo de las matemáticas, un nuevo mundo que descubrieron hace tiempo, pero que no le gusta a todo el mundo, porque hay quien cree que en este mundo solo hay cálculos, o cosas aburridas. Pero ¿en serio creéis que es verdad? No sé si a los demás les gustan o no (tampoco me importa mucho), porque a mí me encantan las mates. Sobre todo quiero saber una cosa y demostrar (aunque sea a mí misma) que, si te lo propones, puedes conseguir cualquier cosa. Y yo me he propuesto el reto del 0.
Disquisiciones sobre el cero
Hay muchas cosas raras del 0:
0 : 0
00
El propio 0
La primera operación sobre la que escribe Ariane es 0 : 0, y no es casualidad que sea así. Ella afirma que 0 : 0 puede ser cualquier número, que la cantidad de respuestas que tiene son infinitas. Su argumento se basa en entender la división como la operación inversa a la multiplicación, una idea que podemos consolidar con los alumnos gracias al uso de las cajitas multiplicativas.
Como 1 × 0 = 0; 2 × 0 = 0; 3 × 0 = 0… y cualquier número multiplicado por 0 es 0, entonces 0 : 0 tiene como respuesta cualquier número. Tiene todo el sentido del mundo, ¿no?
La segunda operación que plantea es la que lo desencadenó todo: 00. Y fijaos en el maravilloso argumento de Ariane para llegar a la respuesta, cómo conecta la operación que quiere descifrar con la construcción sobre cualquier potencia con exponente 0 trabajada en el aula.
Para hacer esto [la operación 00], tienes que hacer 0 : 0. Porque 01 = 0. Para pasar de 01 a 00 divides entre 0, entonces [00] da lo mismo que 0 : 0.
La tercera causa de estudio es el propio cero.
El cero es un número muy extraño. En los números romanos no existe el 0. Pero aunque exista el 0, es un número, pero es «la nada». El cero [no] representa nada.
Si os habéis quedado con ganas de saber más sobre el 0, este vídeo, de Numberphile, explica, desde un punto de vista más técnico, los problemas que supone este número dentro de las matemáticas.Llamando a la puerta de las matemáticas
Ariane termina sus disquisiciones con una conclusión final que emociona. Emociona porque transmite que ha entendido qué son las matemáticas y qué quiere decir hacer matemáticas. Y se ha sentido llamada a investigar este mundo.
¡Vengo al mundo para fastidiar a la gente!
Hasta ahora yo pensaba que las mates eran «regulares». Pero ahora sé que no es todo «mira, eso da aquello», da aquello porque: son impares, o porque si multiplicas… Pero no todo en las mates tiene sentido. Hay un número que es el que lo hace. Este número es el 0. Las mates serían muy aburridas sin el 0.
Como veis, para plantear investigaciones matemáticas de lo más relevantes, no es necesario avanzar contenidos de cursos superiores: se pueden hacer matemáticas sofisticadas con contenidos elementales. Con los contenidos que le corresponden a Ariane —es decir, sin hacer ningún espóiler de los descubrimientos que seguro que seguirán maravillándola en un futuro— hemos sido capaces de ofrecerle una búsqueda interesante. Que una persona de 11 años se sienta llamada a hacer matemáticas por su cuenta es un hecho que no podemos pasar por alto. Un hecho que tenemos que valorar muchísimo. Y ahora tenemos una gran responsabilidad: tenemos que intentar mantener vivo este fuego que se ha encendido y que permite iluminar un poco más nuestras vidas.
