22/7. Dia de l’Aproximació a pi
El 22 de juliol és el Dia de l’Aproximació a pi! Aquest dia també es coneix com a Casual Pi Day o Dia de Pi Arquimedià. Però, sabeu per què?
El dia de pi és el 14 de març, ja que aquesta data, expressada en format dels EUA, és 3/14 (3,14), és a dir, les tres primeres xifres del famós nombre irracional. No obstant això, el 22 de juliol també se celebra. La data, 22/7, és com una fracció el resultat de la qual s’acosta al valor de pi. De fet, s’hi acosta més que no pas 3,14!
22/7 = 3,142857142…
|π-22/7| < |π-3,14|
La constant π defineix una de les relacions més simples de la geometria: el coeficient del perímetre d’una circumferència entre el diàmetre d’aquesta. El valor de la constant s’ha obtingut a partir de diferents càlculs al llarg de la Història, des d’una perspectiva geomètrica. De fet, se’n coneixen aproximacions des de fa gairebé quatre mil anys. La qüestió és, què hi ha al darrere d’aquestes aproximacions? Quins precedents trobem en la Història de la humanitat quant a la descoberta de pi?
Les aproximacions a pi a l’Edat Antiga
Val la pena fer certes consideracions prèvies per entendre el context de l’antiguitat. L’Edat Antiga és el període comprès entre la invenció de l’escriptura, al voltant de l’any 3300 aC, i la caiguda de l’Imperi Romà, al 476 aC. Va ser una època de gran avenç cultural i científic, i va comportar el sorgiment de les primeres civilitzacions. Aquestes van ser els Mesopotàmics, Sumeris, Assiris i Babilonis, l’Antic Egipte, l’Antiga Grècia i l’Antiga Xina. Durant aquest període, aquestes civilitzacions van desenvolupar l’escriptura, i per extensió l’escriptura de la numeració. La lògica que hi ha darrere dels seus càlculs, i per extensió les seves matemàtiques, té molt d’enginy i és eminentment pragmàtica. Per exemple, l’administració de les ciutats de l’antiguitat requeria un registre per a la gestió de recursos, impostos, etc. Amb aquest propòsit, s’utilitzaven petites peces o fitxes d’argila de diferents formes geomètriques per representar una quantitat específica d’un objecte en concret. Dit d’una altra manera, no es diferenciava entre el nombre a representar i l’objecte que s’estava comptant.
En concret, la invenció de la numeració escrita es produeix a la ciutat sumèria d’Uruk, l’any 3000 aC, quan es passa de comptar amb peces de fang a dibuixar les figures en tauletes fresques d’argila, de manera que en assecar-se hi quedava registrat el número. I és justament aquest fet el tret de sortida de la trama de Secundària d’Innovamat, El Viatge de la Sam, amb el qual encetem el curs de 1r d’ESO a partir de reflexionar sobre el nostre sistema de numeració comparant-lo amb la numeració sumèria.
Els antics babilonis, considerats per molts com els pares de les matemàtiques conjuntament amb els sumeris, van ser els primers que van aproximar el valor de π. Ho van fer en el període comprès entre el 1900 aC i el 1680 aC. La nostra entesa del cercle dista molt de la seva, ja que nosaltres l’entenem com el lloc geomètric que descriuen tots els punts del pla que equidisten d’un punt central. D’aquesta manera, entenem els conceptes de circumferència, cercle i radi. En canvi, els babilonis consideraven que el cercle era la figura resultant de fer girar el radi mantenint un dels seus extrems fix al centre de la circumferència. Els seus càlculs, fets mitjançant cordes i estaques, donaven a π el valor de 3, a partir de veure que aquesta relació entre la longitud i el radi es manté en qualsevol cercle. Amb el pas dels anys, van obtenir un càlcul més precís i que obria la porta al món decimal, de π = 3 + ⅛ = 3,125, una aproximació trobada en una antiga tauleta babilònica, la famosa tauleta de Susa.
Aproximadament en els mateixos anys de la troballa babilònica, els seus veïns de la riba del nil, l’Antic Egipte, també van aproximar π. Si la lectura de la descoberta de pi per part dels babilonis ens dona una aproximació decimal, el plantejament egipci ens dona una aproximació fraccional. Val a dir, en la mateixa línia de la puntualització feta amb els babilonis, que el concepte de fraccions de l’antic Egipte no és el mateix que el nostre, en tant que les escrivien totes com a suma de fraccions unitàries (1/n, essent “n” un nombre natural). L’aproximació de π per part dels egipcis va ser recollida al Papir de Rhind, un papir trobat a l’antiga ciutat egípcia de Thebes (actual Luxor), adquirit per l’advocat escocès Alexander Henry Rhind l’any 1858. Aquest papir, signat per l’escriba Ahmes, contenia 87 problemes matemàtics, un d’ells aproximant indirectament π. Aquest problema establia que un quadrat de costat 8 equivalia en superfície a un cercle de diàmetre 9 (la unitat que feien servir eren els khets, aproximadament uns 50 metres). Si traduïm aquesta relació en fòrmula, arribem a l’aproximació següent:
Qui realment va fer un càlcul precís va ser Arquimedes de Siracusa (287 aC – 212 aC), el gran matemàtic de l’antiguitat, sent també un dels protagonistes de la trama de Secundària a El Viatge de la Sam! Arquimedes assolí un alt grau de precisió en tant que especificava els límits entre els quals es trobava la solució, de manera que, a mesura que avançava en el càlcul, assolia un major grau de precisió. Aquesta manera de treballar es coneix com a mètode exhaustiu. Euclides, l’antecessor d’Arquimedes, ja va trobar, un segle abans, que existia una relació de proporcionalitat entre l’àrea del cercle i el quadrat del seu radi, i que aquesta es mantenia en cercles de diferents radis. A partir d’aquesta lògica euclidiana, Arquimedes va proposar de forma molt enginyosa la seva aproximació a π. Ho va fer a partir de dibuixar un primer polígon regular inscrit i un segon polígon regular circumscrit a la mateixa circumferència, de manera que la longitud de la circumferència i l’àrea del cercle quedessin acotades pels mateixos valors de les longituds i àrees dels dos polígons. L’aproximació és més exacta en incrementar el nombre de costats d’aquests polígons. En aquest sentit, Arquimedes va arribar a calcular aquestes àrees amb polígons de 96 costats cadascun, aproximant que el valor de π s’havia de trobar entre 3 + 10/71 (aproximadament 3,1408) i 3 + 1/7 (aproximadament 3,1429), que suposa un error entre el 0,024% i el 0,040% respecte al valor real. I, atenció! Expressant aquests valors en fraccions, obtenim que 222/71 < π < 22/7 → en efecte! El nostre dia de l’aproximació a π!
Aquestes són les aproximacions a pi més rellevants produïdes a l’Antiguitat, però molts matemàtics d’arreu també van aproximar-s’hi d’una manera o altra en diferents indrets i moments. I és que l’enginy i la curiositat humana, a partir de l’experimentació, fa avançar el món! Actualment, el nombre pi encara ocupa l’agenda dels investigadors i matemàtiques, substituint les cordes, estaques i pergamins del passat per supercomputadors capaços de calcular milions de decimals de pi. Avui dia, el supercomputador del Team DAViS of the University of Applied Sciences of the Grisons n’ostenta el rècord, havent pogut calcular fins a 62 831 853 071 796 decimals de pi l’any 2021.
Com podem treballar la descoberta de π a l’aula?
Una manera molt enriquidora de descobrir π a l’aula (o a casa) és a partir de manipular amb els elements de l’entorn i descobrir que la relació entre el perímetre d’una circumferència i el seu diàmetre és π. A partir d’aquí, podem proposar als infants que cerquin circumferències de la seva vida quotidiana, com per exemple un got, la vora d’un tap, un rellotge… Podem adaptar l’activitat per augmentar-ne la riquesa i demanar als infants que cerquin circumferències més grans, com una roda o el cercle central d’un camp d’esports.
Un cop identificades les circumferències d’aquests objectes, recomanaríem als infants de mesurar-ne el perímetre i el diàmetre i anotar-ne les dades obtingudes. És important fer notar als infants la importància de mesurar el diàmetre de banda a banda de la circumferència i passant pel centre d’aquesta.
Utilitzant una calculadora, demanaríem als infants que dividissin els resultats aconseguits, dividint el perímetre entre el diàmetre. Els suggerim una reflexió a partir d’observar els resultats de les diferents circumferències calculades, pretenent que descobreixin que la divisió sempre dona un resultat al voltant de 3.
A partir d’aquí, fomentaríem una conversa amb els infants explicant-los que π és precisament la constant que relaciona el diàmetre i el perímetre de qualsevol circumferència. Clarifiquem que π és un nombre proper a tres i irracional, és a dir, que té infinits decimals. Podem donar una capa de profunditat a la descoberta realitzada abordant-la des de la perspectiva estadística, comparant la informació que hem recollit amb el valor real de π.
I d’aquesta manera, a partir de l’observació i l’experimentació amb la realitat que ens envolta, podem fer entendre el concepte de Pi. El raonament anterior i posterior a les nostres aproximacions ens acosta considerablement al que s’ha produït al llarg de la història per entendre el món que ens envolta!
Vols portar-ho a l'aula?
A la sessió 53: "Dia de Pi", de 1er de la ESO, utilitzem un experiment probabilístic per aproximar el nombre pi en un context de celebració.
Prova-la a l'aula
