Si voleu saber què són i com proposem gestionar aquestes tasques, podeu consultar aquest enllaç.

Continguts més rellevants: Numeració i càlcul, pràctica productiva, Relacions i canvi, multiplicacions, sumes, regularitats

Referència: Iannucci, D. E. The Kaprekar Numbers. J. Integer Sequences 3, No. 00.1.2, 2000. Disponible a: https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/iann2a.html

I. Plantegem i comencem a pensar!

Quins són els nombres de Kaprekar de dues xifres?

Pretenem que els infants comprenguin com es comprova si un nombre és de Kaprekar (a partir de l’exemple del 55) per, més enllà de conèixer aquest tipus de nombres, animar-los a fer multiplicacions i sumes. Una de les riqueses d’aquesta tasca, com totes les de pràctica productiva, és que s’adapta a cada infant: si l’infant raona i cerca patrons, s’estalviarà fer moltes operacions; si no ho fa, i ataca la tasca per la força, la mateixa naturalesa de l’enunciat provoca que l’infant hagi de fer moltes multiplicacions i sumes.

Pel que fa a les dues pistes, tot i que cadascuna fa referència a un nombre de Kaprekar de dues xifres diferent, això no s’explicita:

• Igual que el 55, un dels altres també és capicua.
• I, també igual que el 55, un dels altres acaba en 5.

Per tant, els infants han de raonar i investigar per esbrinar si les dues pistes fan referència al mateix o no. 

II. Comprovem i seguim pensant!

Podeu trobar els tres nombres de Kaprekar de tres xifres proposats?

Pretenem que els infants que ho necessitin utilitzin les dues noves pistes a la recerca dels altres dos nombres de Kaprekar de dues xifres (a banda del 55) i, després, que tots comprovin la solució:

• Un és el 45: 45 x 45 = 2025 → 20 + 25 = 45
• L’altre és el 99: 99 x 99 = 9801 → 98 + 01 = 99

A partir d’aquí, pretenem que els infants s’enfrontin a la nova tasca de trobar nombres de Kaprekar de tres xifres, i que comprenguin l’adaptació corresponent a la manera de comprovar-ho: en el cas de tres xifres, cal separar el resultat de la suma en dues parts de tres xifres cadascuna. Aquesta vegada, però, la tasca està acotada a trobar:

• Un nombre de Kaprekar entre 290 i 300.
• Un nombre de Kaprekar entre 700 i 710.
• I un nombre de Kaprekar que tingui les tres xifres iguals.

III. Reflexionem i anem més enllà!

Pretenem que els infants comprovin que han trobat els tres nombres de Kaprekar proposats:

• 297 → 297 x 297 = 88 209 → 88 + 209 = 297 
• 703 → 703 x 703 = 494 209 → 494 + 209 = 703
• 999 → 999 x 999 = 998 001 → 998 + 001 = 999 

I, per últim, esperem que raonin sobre el patró que comença a observar-se: Si 99 i el 999 són nombres de Kaprekar, ho seran també el 9 o el 9 999? 

D’altra banda, podem plantejar noves preguntes per anar més enllà:

• I si, en lloc de multiplicar un nombre per si mateix dos cops, ho fem tres cops? (https://oeis.org/A006887)
  • D’una xifra, més enllà de l’1, només hi ha el 8: 8 x 8 x 8 = 512 → 5 + 1 + 2 = 8.
  • De dues xifres, només hi ha el 45: 45 x 45 x 45 = 91 125 → 9 + 11 + 25 = 45.
• I si, en lloc de multiplicar un nombre per si mateix tres cops, ho fem quatre cops? (https://oeis.org/A171493)

• D’una xifra, més enllà de l’1, només hi ha el 7: 7 x 7 x 7 x 7 = 2 401 → 2 + 4 + 0 + 1 = 7.
• De dues xifres hi ha tres casos:
  El 45: 45 x 45 x 45 x 45 = 4 100 625 → 4 + 10 + 06 + 25 = 45
  El 55: 55 x 55 x 55 x 55 = 9 150 625 → 9 + 15 + 06 + 25 = 55
  El 67: 67 x 67 x 67 x 67 = 20 151 121 → 20 + 15 + 11 + 21 = 67