Si voleu saber què són i com proposem gestionar aquestes tasques, podeu consultar aquest enllaç.

Continguts més rellevants: Espai i forma, rectangles, cercles, Relacions i canvi, patrons

I. Plantegem i comencem a pensar!

Aconseguirem més rectangles amb 14 cercles que amb 12?

Pretenem que els infants comprenguin l’enunciat de la tasca a partir de l’exemple amb 12 cercles, i que entenguin que hi ha dos tipus de rectangles formats per peces circulars: els plens i els buits. 

Es poden expressar, si ho acordem així, com una suma per files. En aquest cas, els rectangles són, respectivament: 12, 6 + 6, 4 + 4 + 4, 5 + 1 + 1 + 5 i 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4.

D’altra banda, pot ser interessant debatre amb els infants sobre si els rectangles 1 x 12 i 12 x 1 són el mateix tot i que, com es dedueix del vídeo, és recomanable considerar-los-hi.

Per últim pretenem que els infants dedueixin que, per respondre la pregunta “Amb 14 cercles, què creieu que passarà: aconseguirem més rectangles diferents que amb 12 cercles?” cal que s’enfrontin a la tasca seguint alguna estratègia ordenada que els permeti trobar tots els rectangles. Només així podran comparar el cas de 14 cercles amb el de 12 per saber en quin se n’aconsegueixen més.

II. Comprovem i seguim pensant!

I amb 15 cercles? I amb 16?

Pretenem que els infants hagin descobert que, amb 14 cercles, es poden aconseguir 2 rectangles plens i 2 de buits: 14, 7 + 7, 6 + 1 + 1 + 7 i 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5.

Esperem, també, que comprovin les solucions i prenguin consciència que se’n poden construir menys que no pas amb 12 cercles. A partir d’aquí, ens interessa aprofundir en la comparació pel que fa a la quantitat de rectangles de cada tipus que es poden aconseguir: amb 12 cercles es poden fer més rectangles plens que buits i, en canvi, amb 14 cercles se’n poden fer la mateixa quantitat de cada. Amb aquestes relacions en ment, proposem als infants que investiguin què passarà amb 15 i amb 16 cercles.

III. Reflexionem i anem més enllà!

Pretenem que els infants hagin descobert i comprovin que, formats per 15 cercles, només hi ha 2 rectangles plens: 15 i 5 + 5 + 5.

En canvi, amb 16 cercles hi ha 3 rectangles de cada tipus: 16, 8 + 8, 4 + 4 + 4 + 4, 7 + 1 + 1 + 7, 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 i 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5.

Per anar més enllà, proposem als infants que trobin una quantitat de cercles que permeti construir més rectangles buits que plens. I els donem una pista: hi ha una solució amb una quantitat de cercles entre 10 i 20. La solució és precisament amb 20 cercles, que se n’aconsegueixen:

• 3 de plens: 20, 10 + 10 i 5 + 5 + 5 + 5.
• 4 de buits: 9 + 1 + 1 + 9, 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 8, 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 i 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6.

També podem plantejar més preguntes als infants, que els condueixin a la cerca de regularitats i observacions com ara:

• Si la quantitat de cercles és múltiple de 4, sempre es poden fer rectangles buits.
• Sempre es poden construir rectangles plens (com a mínim, el d’una única fila) però amb una quantitat senar de cercles no es poden rectangles buits.
• Si la quantitat de cercles és un nombre quadrat parell major que 4 (per exemple, el 16 o el 36), es poden fer els dos tipus de rectangles.
• A partir de 24 cercles s’obren noves maneres de solucionar el problema:

• Amb una quantitat 2n de cercles:
  • la quantitat de rectangles plens depèn del nombre de divisors de n.
  • la quantitat de rectangles buits és n/2 – 1 si n és parell i (n – 3) / 2 si n és senar.