Osserva questa figura. È un rombo o un quadrato?
Cosa direbbero i tuoi alunni?
In effetti, dipende. Dipende se utilizzi definizioni esclusive o inclusive:
Secondo le definizioni esclusive, la figura può essere solo un quadrato. Secondo le definizioni inclusive, in cui alcune categorie rimangono all’interno di altre, la figura è un tipo molto specifico di rombo, chiamato quadrato.
Classificazioni esclusive
Tradizionalmente, nella geometria che si insegna a scuola, la terminologia, le definizioni e, quindi, le classificazioni, sono sempre state presentate con un’accezione esclusiva. Facciamo un esempio: il triangolo equilatero è quella figura che ha tutti i lati uguali, mentre il triangolo isoscele è quella figura con due lati uguali e il terzo lato diverso.
Facciamone un altro: il quadrato ha quattro lati uguali e quattro angoli retti, mentre il rettangolo ha quattro lati uguali due a due, diversi tra loro, e quattro angoli retti. Lo vedi anche tu? Queste integrazioni, in corsivo, comportano l’esclusione dalle definizioni. Pertanto, un triangolo equilatero NON è un particolare tipo di triangolo isoscele. E un quadrato NON è un tipo specifico di rettangolo, sono figure che si escludono a vicenda.
Tuttavia, oggi la maggior parte degli insegnanti di matematica la vede diversamente. «Ma perché? Che voglia di complicare le cose!», esclameranno alcuni, preoccupati più dal dover imparare qualcosa di nuovo che dalla mancanza di coerenza e chiarezza di ciò che trasmettono ai propri alunni. Ma è proprio la mancanza di coerenza che crea confusione a lungo termine. Fai una prova. Chiedi a qualcuno di spiegarti cos’è un trapezio o un parallelogramma. Vedrai che confusione! Tutto ciò non fa altro che dare un’immagine arbitraria e opaca della matematica. Qualcosa che dovremmo evitare.
Classificazioni inclusive
Cosa proponiamo allora? Proponiamo di optare per definizioni inclusive, quando possibile! Le definizioni inclusive generano classificazioni in cui alcune figure rimangono all’interno di altre, proprio come delle bambole russe. Ti ricorda qualcosa questo modo di organizzare il mondo? Proprio così! I biologi, e perdonate la semplificazione, hanno le idee molto chiare: nel regno animale ci sono i vertebrati, gli invertebrati, ecc. Tra i vertebrati abbiamo mammiferi, uccelli, pesci, ecc. E tra i mammiferi ci sono primati, canidi, marsupiali, ecc. La biologia usa definizioni inclusive. Ma anche la matematica ci offre degli ottimi esempi! Se osserviamo la classificazione dei numeri, vedremo che è sempre stata inclusiva:
Tutto quadra. In effetti, questo modo di vedere la geometria non è nuovo: già negli anni ’40, la nota matematica e pedagoga italiana Emma Castelnuovo (che meriterebbe un articolo tutto suo) proponeva questo tipo di definizioni e classificazioni inclusive nel famoso libro Geometria intuitiva.
La classificazione inclusiva dei quadrilateri
Proviamo con la geometria piana. Di tutte le figure piane chiuse, quelle che sono delimitate da lati dritti sono dette poligoni. All’interno dei poligoni, a seconda del numero dei lati, abbiamo triangoli, quadrilateri, pentagoni, esagoni, ecc. E non finisce qui: poiché ne troviamo in abbondanza, abbiamo dedicato più tempo e impegno alla classificazione dei triangoli e dei quadrilateri rispetto alle altre figure geometriche. All’interno dei quadrilateri troviamo i trapezi (due lati paralleli); e tra i trapezi, i parallelogrammi (lati paralleli due a due); e all’interno dei parallelogrammi, i rombi (quattro lati uguali) e i rettangoli (quattro angoli retti); e nell’intersezione dei rombi e dei rettangoli troviamo i quadrati. Pertanto, un quadrato è allo stesso tempo un rettangolo, un rombo, un trapezio, un parallelogramma, un quadrilatero e un poligono, così come il 5 è un numero naturale e allo stesso tempo intero, razionale e reale.
La chiave, se si opta per le definizioni inclusive, è far capire agli alunni che se facciamo riferimento a una figura usiamo sempre la categoria più restrittiva possibile. In questo modo di ordinare il mondo non c’è posto per parole che terminano in -oide, come romboide o trapezoide. Questo suffisso, che deriva dal greco e significa «simile a» o «con forma di», e che spesso ha connotazioni dispregiative, rende la classificazione meno rigorosa e crea solo confusione.
Vediamo lo schema che emerge dalla Sfida 4 delle avventure di 5° anno di scuola primaria, in cui si chiede ai bambini di trovare tutti i diversi quadrilateri possibili su un geopiano 3 × 3 e poi di classificarli. Se non hai ancora fatto questa sfida, niente spoiler: cerca tutti i quadrilateri prima di continuare!
Li hai già trovati tutti? Hai controllato bene? E come li classificheresti? Scopriamolo insieme!
Qualsiasi attività ricca è come un albero, con un tronco principale e molti rami da esplorare. In questo caso, un ramo da esplorare potrebbe essere l’area dei quadrilateri (per i quali non è necessaria alcuna formula, ma solo prendere come riferimento i quadratini che definiscono i punti del geopiano) o nel trovarne il perimetro (che, finché non conosciamo il teorema di Pitagora, dipenderà dalle misure prese con il righello). Ma torniamo al tronco e diamo un’occhiata alla Cassetta degli attrezzi, l’album di figurine che proponiamo di completare nel corso degli ultimi anni di Avventure. Ecco come appare la classificazione dei quadrilateri con la rappresentazione visiva delle proprietà che ne consentono la classificazione:
La classificazione inclusiva dei triangoli
Qualsiasi articolo che si occupi di classificazioni inclusive dal punto di vista della geometria piana non può finire senza parlare di triangoli. Come li classifichiamo? La prima cosa da ricordare è che per classificare i triangoli ci sono due criteri principali: secondo gli angoli e secondo i lati. Ed è proprio questo «doppio» modo di vedere i triangoli che ci offre un’ottima occasione di lavorare sulle tabelle a doppia entrata in classe.
Nelle sfide 15 e 16 delle avventure di 4º anno di scuola primaria, chiediamo agli alunni di trovare tutti i diversi triangoli possibili su un geopiano 3 × 3 e di classificarli in una tabella a doppia entrata. La cosa più interessante di questa classificazione è che comprendiamo che i triangoli equilateri (tre lati uguali) sono un caso particolare di triangoli isoscele (almeno 2 lati uguali) e non meritano una categoria a sé stante. Per finire, vediamo come appare questa tabella nella Cassetta degli attrezzi:
