Eduki taula
Hiruko erregela Lehen Hezkuntzako mailetan lantzen dugun kontzeptu matematiko bat da, eta proportzionaltasunarekin lotutako problemak ebazteko sarritan erabiltzen den tresna bihurtu da. Hala ere, beharrezkoa al da benetan hiruko erregelaren algoritmoa ezagutzea proportzionaltasunaren inguruko ezagutzak izateko? Aurkez al genezake hiruko erregela ikuspuntu ezberdinetan oinarrituta? Artikulu honetan, itxuraz mekanikoa den ikaskuntza bat konpetentzietan oinarrituta egon daitekeela ikusiko dugu hainbat adibideren bidez.
Zer da hiruko erregela?
Gure egunerokotasunean, proportzionaltasuna erabiliz matematikoki azter ditzakegun egoerak bizi ditugu: produktu beraren kantitate ezberdinak erosten ditugu soltean; sukaldeko errezeta bat aldatzen dugu mahaian izango garen pertsona kopurura egokitzeko; zeregin bat hainbat pertsonaren artean banatzen dugu eta, gero, pertsona kopurua aldatzen bada, egokitu egiten dugu; merkealdian deskontuak kalkulatzen ditugu, neurri-unitateak aldatzen ditugu, etab.
Tradizionalki, halako egoerak hiruko erregelarekin ebazten genituen. Hona hemen prozedura hori erabiliz ebatzi diren adibide batzuk.
4 botila urek 2,30€ balio dute. Zenbat ordainduko dugu 10 botila erosi nahi baditugu?
6 langilek lan bat egiten dute 10 ordutan. Zenbat denbora beharko dute 15 langilek lan bera egiteko?
Kale Nagusiko denda batean merkealdian daude. Atean kartel bat dago, eta zera dio: «% 20ko deskontua galtzetan». Lehen galtza batzuek 45 € balio bazuten, zenbat balioko dute orain?
Estatu Batuetan, altuera oinetan neurtzen da (ingelesez, feet, laburtuta “ft”). Badakigu 3 m, gutxi gorabehera, 10 oin direla. Zenbateko altuera du, metrotan, 6,5 oin neurtzen dituen zuhaitz batek?
Algoritmoetan oinarritutako halako ebazpenek oroimenezko abilezia eskatzen dute. Hiruko erregela datu ezezaguna ezagutzeko aukera ematen duen algoritmo bat da. Horretarako, datu ezagunak modu jakin batean jartzen dira, eragiketa aritmetikoak ordena jakin batean egiteko. Edozein algoritmo itxitan bezala, ezin dira aldatu zenbakien posizioa eta eragiketak, eta ezta eragiketak zer ordenatan egiten diren, ez baikenuke emaitza zuzena lortuko. Badakigu, gure ikasleei algoritmoak goizegi aurkezten badizkiegu, horrek nolabaiteko pasibotasuna eragiten duela haien pentsamenduan: ez dute arrazoitzen, eta algoritmoaren urratsek huts egiten dutenean, blokeatu egiten dira. Hori dela eta, algoritmoa goizegi aurkezten badugu, ikasleei kosta egiten zaie zailtasun bati aurre egiteko tresnak garatzea.
Jar dezagun adibide bat:
10 musikarik Beethovenen Bederatzigarren Sinfonia 65 minututan jotzen badute, zenbat denbora beharko dute 5 musikarik?
Pentsatu gabe hiruko erregela aplikatzera ohituta dauden ikasleak tranpan eror daitezke, eta oker erantzun. Algoritmo tradizionalak ez direnez gardenak, zaila da loturak egitea egiten ditugun eragiketen zergatiaren eta hori ulertzen lagunduko diguten eduki matematikoen artean.
Hurrengo lerroetan, proportzionaltasun zuzena eta alderantzizko proportzionaltasuna barne hartzen dituzten hainbat egoera aztertuko ditugu, baita ehunekoak kalkulatu behar diren edo unitate-aldaketarekin zerikusia duten egoerak ere. Tradizionalki, ehunekoak eta unitate-aldaketak bakoitza bere algoritmoarekin ebazten ziren, baina proportzionaltasunaren ideia partekatzen dutenez, hiruko erregela eraginkorra izan daiteke erantzuna aurkitzeko, egoeraren arabera. Ikus ditzagun zer-nolako loturak dauden!
Hiruko erregela vs. proportzionaltasun-taulak
Innovamaten defendatzen dugu algoritmoak ez direla aurkeztu behar ziur egon arte ikasleek, algoritmoaren urratsak ahaztuta ere, egoera ebazteko nahikoa baliabide dituztela. Gure sekuentzia didaktikoetan, algoritmoak ez ditugu “irakasten”, eraiki baizik.
Hiruko erregelak matematikan bere lekua duela uste dugu, baina konbentzituta gaude ikaskuntzak gaitasunetan oinarritua izan behar duela, hau da, ulermenetik sortu behar dela. «Egoera hau hiruko erregelarekin ebatziko dut» esan beharrean, «Egoera hau proportzionaltasunean oinarrituz ebatziko dut» esango dugu.
Algoritmo bat erabiltzearen helburua soilik eraginkortasuna lortzea bada, ez da nahikoa; ezin da hori izan ikasleei baliabide bat aurkezteko arrazoi bakarra. Praktika mota horrekin, matematikari buruzko irudi desitxuratua sortzeko arriskua dago. Izan ere, matematiketan aritzea ez da eragiketa zailak egitea edo algoritmoak erabiltzea soilik, askoz gehiago da: pentsatu egin behar da, eta datuen arteko loturak eta ereduak bilatu.
Bestalde, ikasleek hiruko erregelarekin duten zailtasunik handiena da, ez direla gai paperean eragiketak zer ordenatan jartzen diren edo magnitudeak non kokatzen diren gogoratzeko. Ikasleak ez badira hiruko erregelara beste algoritmo gardenago batzuen bidez iristen, askotan ez dakite zer ari diren egiten, eta hiruko erregela zentzurik ez duen eta oroimenean oinarritzen den estrategia bat bihurtzen da.
Gainera, Lehen Hezkuntzan goizegi aurkezten bada, zenbakien arteko erlazio biderkatzaileari buruzko lana oztopatzen du, algoritmoa ez baita gardena. Era berean, DBHn zailtasunak izan ditzakegu arrazoiaren eta proportzioaren ideietan sakontzeko.
Hiruko erregela erabili beharrean, ikusitako egoerak ebazteko proportzionaltasuna ondo ulertu behar dela defendatzen dugu, arrazoiketa logikoak eginez, unitateak murriztuz eta buruzko kalkuluaren bidez. Proportzionaltasun -taulak baliabide eraginkorrak dira ikasleekin eraikitzeko.
Jarraian, aurreko adibideetara itzuliko gara, eta horiek ebazteko proportzionaltasun-taulak erabiltzeak zer-nolako abantailak dituen azpimarratuko dugu.
4 botila urek 2,30€ balio dute. Zenbat ordainduko dugu 10 botila erosi nahi baditugu?
Ikasleek erraz aplikatzen duten estrategia bat magnitude independentea unitatera murriztea da. Unitatetik pasatzean, ohartzen dira mota horretako edozein botilaren prezioa aurki dezaketela. Hori aprobetxatuz, proportzionaltasun-arrazoiarenideia landu dezakegu . Botila bakoitzeko 0,575 € ordainduko dugu (2,30 € 4z zatitzen badugu emaitza horixe lortuko dugu).
Bestalde, 10 botila 4ko paketea “bi aldiz eta erdi” dela ohartzen bagara, haien truke ordainduko dugun prezioa ere hala izango da.
6 langilek lan bat egiten dute 10 ordutan. Zenbat denbora beharko dute 15 langilek lan bera egiteko?
Hiruko alderantzizko erregelan, ikasleak askotan nahastu egiten dira eta akatsak egiten dituzte, ez baitakite zer biderkatu edo zatitu behar duten, ezta eragiketak zer ordenatan egin behar dituzten ere. Goiko ebazpenak halako akatsak egitea saihesten du.
Izan ere, ikasleek naturaltasunez ulertzen eta aplikatzen dute zenbat eta langile gehiagok lan egin, orduan eta denbora gutxiago beharko dutela lana amaitzeko.
Kale Nagusiko denda batean merkealdian daude. Atean kartel bat dago, eta zera dio: «% 20ko deskontua galtzetan». Lehen galtza batzuek 45 € balio bazuten, zenbat balioko dute orain?
Taula mota hauek ehunekoak izendatzailea 100 duten zatikiak direla ulertzen laguntzen digute (unitate baten % 20 eta ⅕ gauza bera dira).
Kasu honetan, gainera, oso garrantzitsua iruditzen zaigu ikasleak ikustea % 20ko deskontua izatea eta prezioaren % 80 ordaintzea baliokideak direla; horrela, ez dugu azken kenketa egin beharko, eta emaitza zuzenean lortuko dugu.
Estatu Batuetan, altuera oinetan neurtzen da (ingelesez, feet, laburtuta “ft”). Badakigu 3 m, gutxi gorabehera, 10 oin direla. Zenbateko altuera du, metrotan, 6,5 oin neurtzen dituen zuhaitz batek?
Hemen, ikasleek ezagutzen dute baliokidetasuna (10 oin 3 metro dira), beraz, oinetan neurtu eta erantzuna metrotan eman dezakete, adierazpenean bezala. Baita ere, metrotan neur dezakete eta erantzuna oinetan eman, jarraian ikusten den moduan.
Hausnar dezagun matematikak ikasteari buruz
Ondorio gisa, hiruko erregela ikasleentzat fikziozko makulu bihur daitekeela azpimarratu nahi dugu, ez baitu matematikarako gaitasuna garatzea sustatzen. Formula mekanikoki aplikatzen dugunez, ez da erraza kontzeptua bere horretan ulertzea, eta ikasleei zailago egiten zaie problemak modu autonomoan ebaztea. Beharrezkoa da hiruko erregelaren irakaskuntza beste ikuspuntu batetik planteatzea eta ikuspegi integralagoak bilatzea, matematikaren ulermena, arrazoiketa eta autonomia sustatzeko. Horregatik, proportzionaltasuna menderatzea positiboa izan liteke matematikaren ikuspegi desitxuratua ez izateko eta matematikak bizitzeko eta mundua ikusteko zein ulertzeko modu bat direla ikusteko.
