Skip to content

La regola del tre

Regla de tres

Indice dei contenuti

La regola del tre è un concetto matematico su cui si torna più volte nel corso della scuola primaria. L’algoritmo della regola del tre è diventato uno strumento molto popolare per risolvere i problemi di proporzionalità. Ma è davvero indispensabile conoscere questo algoritmo per comprendere appieno il funzionamento della proporzionalità? È possibile lavorare sulla regola del tre partendo da altri punti di vista? In questo articolo mostreremo perché un apprendimento apparentemente meccanico può essere in realtà basato sulle competenze.

Cos'è la regola del tre?

Nella nostra vita di tutti i giorni, ci ritroviamo spesso in situazioni che ci invitano a ricorrere al concetto di proporzionalità: comprando una quantità o un’altra dello stesso prodotto sfuso; se ci troviamo obbligati a modificare una ricetta di cucina a causa di un cambio improvviso nel numero dei commensali; quando dividiamo un’attività tra i componenti di un gruppo ma poi il numero dei componenti cambia; se vogliamo calcolare gli sconti quando andiamo a fare acquisti; se ci troviamo a dover convertire delle unità di misura, ecc.

Sono tutte situazioni che di solito risolviamo con la regola del tre. Ecco alcuni esempi risolti con questo procedimento.

4 bottiglie d’acqua costano 2,30 €. Quale sarà il prezzo di 10 bottiglie?

6 operai completano un lavoro in 10 ore. Quanto tempo impiegheranno 15 operai per fare lo stesso lavoro?

In un negozio di Via Monte Napoleone ci sono i saldi. Sulla porta c’è un cartello che dice: “Sconto del 20% sui pantaloni”. Quanto costa un paio di pantaloni che prima costava 45 €?

Negli Stati Uniti l’altezza si misura in piedi (in inglese feet, che abbreviato è ft). Sappiamo che 3 m corrispondono a circa 10 ft. Quanto è lungo, in metri, un albero di 6,5 ft?

Questo tipo di soluzione algoritmica richiede una certa capacità di memorizzazione. La regola del tre è un algoritmo che permette di conoscere il dato nascosto disponendo i dati noti in un modo specifico per eseguire operazioni aritmetiche in un ordine determinato. Come per ogni algoritmo chiuso, non è possibile alterare né la posizione occupata dai numeri, né le operazioni, né l’ordine di esecuzione, altrimenti otterremmo un risultato sbagliato. Sappiamo che presentare prematuramente gli algoritmi ai nostri alunni porta a una certa passività cognitiva. Quando lo facciamo, gli alunni tendono a smettere di ragionare, e se i passaggi dell’algoritmo non portano al risultato corretto, si bloccano. Se introduciamo l’algoritmo troppo presto, rendiamo più difficoltoso lo sviluppo degli strumenti che permettono loro di affrontare le difficoltà.

Immaginate il seguente esempio:

Se 10 musicisti suonano la Nona Sinfonia di Beethoven in 65 minuti, quanto tempo impiegano a suonarla 5 musicisti?

Gli alunni abituati ad applicare la regola del tre senza riflettere possono cadere nella trappola e sbagliare. Con gli algoritmi tradizionali, essendo poco trasparenti, non è facile creare collegamenti con i contenuti matematici che aiutano a capire il motivo delle operazioni che eseguiamo.

Nei paragrafi che seguono analizzeremo diverse situazioni di proporzionalità, sia diretta che inversa, e altre situazioni che hanno a che fare con il calcolo delle percentuali o il cambio di unità. Tradizionalmente, le percentuali e i cambi di unità venivano risolti con l’uso di algoritmi propri. In realtà, però, inglobano un’idea di proporzionalità e, di conseguenza, la loro risoluzione può essere affrontata anche ricorrendo alla regola del tre. Scopriamo insieme i collegamenti!

La regola del tre e le tabelle di proporzionalità

Noi di Innovamat riteniamo che l’introduzione degli algoritmi debba avvenire quando siamo sicuri che l’alunno, anche se dovesse dimenticare alcuni passaggi, abbia risorse sufficienti per risolvere la situazione. Nelle nostre sequenze didattiche, gli algoritmi vengono costruiti, non spiegati.

Non crediamo che la regola del tre debba scomparire dalle lezioni di matematica, ma siamo convinti che il suo apprendimento debba essere basato sulle competenze, cioè debba nascere dalla comprensione. Invece di dire: “Risolverò questa situazione con la regola del tre”, diremo: “Risolverò questa situazione con la proporzionalità“.

L’uso di un algoritmo al solo scopo di aumentare l’efficacia delle operazioni è insufficiente e l’efficacia non può essere l’unica ragione per cui presentiamo una risorsa agli alunni. Così facendo, corriamo il rischio di dare una visione distorta della matematica. Fare matematica non vuol dire necessariamente realizzare grandi calcoli o seguire degli algoritmi, ma implica un lavoro di riflessione, ricerca di schemi e confronto di dati.

D’altra parte, la principale difficoltà che gli alunni incontrano con la regola del tre è che non riescono a ricordare l’ordine delle operazioni o la posizione delle grandezze sul foglio. Se gli alunni non arrivano alla regola del tre accompagnati o attraverso altri algoritmi più trasparenti, spesso non sanno cosa stanno facendo e trasformano la regola del tre in una strategia priva di significato, in un esercizio puramente routinario.

Inoltre, introdurre questa regola troppo presto nella scuola primaria ostacola il lavoro sulle relazioni moltiplicative che esistono tra i numeri e nasconde alcune relazioni non additive che esistono tra altri. Allo stesso tempo, nella scuola secondaria può impedirci di approfondire le idee di rapporto e proporzione.

In alternativa alla regola del tre, incoraggiamo la risoluzione di queste situazioni attraverso una profonda comprensione del concetto di proporzionalità, attraverso il ragionamento logico, la riduzione all’unità e il calcolo mentale. Costruire le tabelle di proporzionalità è un’attività molto utile ed efficace da fare con gli alunni.

Di seguito, torniamo agli esempi precedenti e ci concentriamo sui vantaggi dell’uso delle tabelle di proporzionalità per risolverli.

4 bottiglie d’acqua costano 2,30 €. Quale sarà il prezzo di 10 bottiglie?

Un modo di ragionare che gli alunni applicano facilmente è quello di ridurre all’unità la grandezza indipendente. Passando per l’unità si rendono conto di poter trovare il prezzo di un numero qualsiasi di bottiglie dello stesso tipo. Qui possiamo lavorare sull’idea di rapporto di proporzionalità. Per ogni bottiglia, pagheremo 0,575 € (il risultato che otteniamo dividendo 2,30 € per 4).

Se osserviamo che 10 bottiglie sono “due volte e mezzo” una confezione da 4, allora la stessa cosa succederà anche al prezzo che paghiamo per comprarle.

6 operai completano un lavoro in 10 ore. Quanto tempo impiegheranno 15 operai per fare lo stesso lavoro?

Questo tipo di risoluzione evita l’errore comune di non sapere quali sono le operazioni di moltiplicazione e divisione nella regola del tre inversa e in quale ordine devono essere eseguite.

In questa situazione, gli alunni capiscono in modo naturale che più operai lavorano, prima finisce il lavoro.

In un negozio di Via Monte Napoleone ci sono i saldi. Sulla porta c’è un cartello che dice: “Sconto del 20% sui pantaloni”. Quanto costa un paio di pantaloni che prima costava 45 €?

Queste tabelle ci aiutano a comprendere la natura delle percentuali intese come frazioni con denominatore 100 (un 20% equivale a ⅕ di un’unità).

In questo caso è molto importante che l’alunno si renda conto del fatto che uno sconto del 20% equivale a pagare l’80% del prezzo; in questo modo si evita di fare la sottrazione finale e di ottenere direttamente il risultato.

Negli Stati Uniti, le altezze si misurano in piedi (in inglese, feet, che abbreviato è ft). Sappiamo che 3 m corrispondono a circa 10 ft. Quanto è lungo, in metri, un albero di 6,5 ft?

In questo caso, gli alunni non devono preoccuparsi di quale informazione devono conoscere. Conoscono l’equivalenza (10 piedi equivale a 3 metri), quindi possono misurare in piedi e dare la risposta in metri, come nella consegna. Potrebbero anche misurare in metri e dare la risposta in piedi, come proponiamo qui di seguito.

Riflettiamo sull'apprendimento della matematica

Per concludere, vorremmo insistere sull’idea che la regola del tre può diventare un aiuto fittizio per gli alunni, in quanto non favorisce lo sviluppo della loro competenza matematica. Affidandosi esclusivamente all’applicazione meccanica della formula, la comprensione concettuale e la capacità di risolvere i problemi in modo autonomo sono limitate. È necessario ripensare l’insegnamento della regola del tre e cercare approcci più olistici che favoriscano la comprensione, il ragionamento e l’autonomia in matematica. Pertanto, parlare di padronanza del concetto di proporzionalità potrebbe essere positivo per non avere una visione distorta della matematica e vederla per quello che è: un modo di vivere, vedere e capire il mondo.

  • Laura Ansorena

    Laureata in architettura e insegnante per vocazione. Amante del bello e del reale, proprio come la matematica. Attualmente insegna matematica, progettazione tecnica e progettazione presso l'istituto Aula Escola Europea. All'attività di insegnamento affianca la collaborazione con il dipartimento didattico di Innovamat.

Ultime pubblicazioni

Iscriviti alla Newsletter

Ricevi tutte le novità e i contenuti in esclusiva nella tua email.