Observa esta figura. ¿Es un rombo o un cuadrado?
¿Qué dirían tus alumnos?
De hecho, depende. Depende de si utiliza definiciones excluyentes o inclusivas:
Según las definiciones excluyentes, la figura es un cuadrado y ya. Según las definiciones inclusivas, en las que algunas categorías permanecen dentro de otras, la figura es un tipo de rombo muy concreto, llamado cuadrado.
Clasificaciones excluyentes
Tradicionalmente, en la geometría escolar, el vocabulario, las definiciones y, por lo tanto, las clasificaciones, eran excluyentes. Pongamos un ejemplo: el triángulo equilátero es aquel que tiene todos los lados iguales, mientras que el isósceles es aquel con dos lados iguales y el tercero diferente.
Otro ejemplo: el cuadrado tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos, mientras que el rectángulo tiene cuatro lados iguales dos a dos, diferentes entre sí, y cuatro ángulos rectos. ¿Lo ves? Estas añadiduras, en cursiva, hacen que las definiciones se excluyan. De esta manera, un triángulo equilátero NO es un tipo concreto de triángulo isósceles. Un cuadrado tampoco NO es un tipo concreto de rectángulo, son figuras que se excluyen entre sí.
Sin embargo, hoy en día la mayoría de los que nos dedicamos a la educación matemática lo vemos de manera diferente. «¿Por qué? ¡Qué ganas de cambiar las cosas!», exclamarán algunos, más preocupados por no tener que aprender nada nuevo que por la coherencia y la claridad de lo que transmiten a sus alumnos. Pues precisamente porque la falta de coherencia es un problema que provoca confusión a largo plazo. Haz la prueba. Pídele a cualquiera que te explique qué es un trapecio, o un paralelogramo. ¡Ya verás qué lío! Todo esto fomenta una imagen de las matemáticas arbitraria y opaca que deberíamos evitar.
Clasificaciones inclusivas
¿Qué proponemos entonces? ¡Optar por definiciones inclusivas, siempre que sea posible! Las definiciones inclusivas generan clasificaciones en las que algunas figuras permanecen dentro de otras, como muñecas rusas. ¿Os suena esta forma de ordenar el mundo? ¡Efectivamente! Los biólogos, que me perdonarán la simplificación, lo tienen muy claro: dentro de los animales hay vertebrados, invertebrados, etc. Dentro de los vertebrados, tenemos mamíferos, aves, peces, etc. Dentro de los mamíferos hay primates, cánidos, marsupiales, etc. La biología utiliza definiciones inclusivas. ¡Pero es que ni siquiera teníamos que salir de las matemáticas! Si nos fijamos en la clasificación de los números, veremos que siempre ha sido inclusiva:
Todo cuadra. De hecho, esta forma de ver la geometría no es nueva: en los años 40, la reconocida matemática y pedagoga italiana Emma Castelnuovo (que se merece un artículo por su cuenta) ya propuso este tipo de definiciones y clasificaciones inclusivas en su famoso libro Geometría intuitiva.
La clasificación inclusiva de los cuadriláteros
Probémoslo con la geometría plana. De todas las figuras planas cerradas, las que están delimitadas por lados rectos se denominan polígonos. Dentro de los polígonos, según el número de lados, tenemos triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Y no acaba ahí: por una cuestión de abundancia en nuestro entorno, hemos dedicado más esfuerzo a clasificar los triángulos y cuadriláteros, siendo un poco más precisos que con el resto. Dentro de los cuadriláteros tenemos los trapecios (dos lados paralelos); y dentro tenemos los paralelogramos (lados paralelos dos a dos); y dentro, los rombos (cuatro lados iguales) y los rectángulos (cuatro ángulos rectos); y en la intersección de los rombos y los rectángulos tenemos los cuadrados. Por lo tanto, un cuadrado es a la vez un rectángulo, un rombo, un trapecio, un paralelogramo, un cuadrilátero y un polígono, al igual que el 5 es natural y a la vez entero, racional y real.
La clave, si optamos por definiciones inclusivas, es transmitir a los alumnos que cuando queremos referirnos a cualquier figura siempre utilizamos la categoría más restrictiva posible. En esta manera de ordenar el mundo no hay lugar para palabras que terminen en -oide, como romboide o trapezoide. Este sufijo, que proviene del griego y significa «similar a» o «en forma de», y que a menudo tiene connotaciones despectivas, resta rigor a la clasificación y solo crea confusión.
Veamos el esquema que surge del Reto 4 de las aventuras de 5º, en el que se pide a los niños y niñas que encuentren todos los diferentes cuadriláteros posibles en un geoplano de 3 × 3 y luego los clasifiquen. Si nunca te has enfrentado a este reto, no te hagas un spoiler, ¡detente y busca los cuadriláteros antes de continuar!
¿Ya los has encontrado todos? ¿Estás seguro? ¿Y cómo los clasificarías? ¡Veámoslo!
Cualquier actividad rica es como un árbol, con un tronco principal y muchas ramas que podemos explorar. En este caso, una rama consistiría en explorar el área de los cuadriláteros (para lo que no es necesaria ninguna fórmula, sino tomar como referencia los cuadraditos que definen los puntos del geoplano) o encontrar su perímetro (lo cual, hasta que conozcamos el teorema de Pitágoras, dependerá de la medida con regla). Pero volvamos al tronco y fijémonos en la Caja de herramientas, el álbum de pegatinas que proponemos completar a lo largo de las Aventuras de 5º y 6º. Así es como queda la clasificación de los cuadriláteros con la representación visual de las propiedades que permiten clasificarlos:
La clasificación inclusiva de los triángulos
Cualquier artículo que aborde las clasificaciones inclusivas desde la perspectiva de la geometría plana no puede terminar sin hablar de triángulos. ¿Cómo los clasificamos? Lo primero que hay que recordar es que históricamente, para clasificar los triángulos existen dos grandes criterios: según los ángulos y según los lados. Y es precisamente esta «doble» forma de mirarlos la que nos ofrece una excelente oportunidad de trabajar las tablas de doble entrada en el aula.
En los retos 15 y 16 de las Aventuras de 4º de primaria, precisamente pedimos a los alumnos que encuentren todos los diferentes triángulos posibles en un geoplano de 3 × 3 y los clasifiquen en una tabla de doble entrada. Lo más interesante de esta clasificación es que entendemos que los triángulos equiláteros (tres lados iguales) son un caso particular de los isósceles (al menos 2 lados iguales) y no merecen una categoría para ellos solos. Para terminar, veamos cómo queda esta tabla en la Caja de herramientas:
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