Si queréis saber qué son y cómo proponemos gestionar estas tareas, podéis consultar este enlace.

Contenidos más relevantes: Espacio y forma, rectángulos, círculos, Relaciones y cambio, patrones

I. Planteemos y empecemos a pensar

¿Conseguiremos más rectángulos con 14 círculos que con 12?

Pretendemos que los niños y niñas comprendan el enunciado de la tarea a partir del ejemplo con 12 círculos, y que entiendan que hay dos tipos de rectángulos formados por piezas circulares: los llenos y los vacíos.

Se pueden expresar, si así lo acordamos, como una suma por filas. En este caso, los rectángulos son, respectivamente: 12, 6 + 6, 4 + 4 + 4, 5 + 1 + 1 + 5 y 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4.

Por otro lado, puede ser interesante debatir con los niños y niñas sobre si los rectángulos 1 × 12 y 12 × 1 son lo mismo aunque, como se deduce en el vídeo, es recomendable considerarlos así.

Por último pretendemos que deduzcan que, para responder la pregunta «Con 14 círculos, ¿qué creéis que pasará: conseguiremos más rectángulos diferentes que con 12 círculos?», es necesario que se enfrenten a la tarea siguiendo alguna estrategia ordenada que les permita encontrar todos los rectángulos. Solo así podrán comparar el caso de 14 círculos con el de 12 para saber en cuál se consiguen más.

II. Comprobemos y sigamos pensando

¿Y con 15 círculos? ¿Y con 16?

Pretendemos que los niños y niñas hayan descubierto que, con 14 círculos, se pueden conseguir 2 rectángulos llenos y 2 vacíos: 14, 7 + 7, 6 + 1 + 1 + 7 y 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5.

Esperamos, también, que comprueben las soluciones y tomen conciencia de que se pueden construir menos que con 12 círculos. A partir de aquí, nos interesa profundizar en la comparación con respecto a la cantidad de rectángulos de cada tipo que se pueden conseguir: con 12 círculos se pueden hacer más rectángulos llenos que vacíos y, en cambio, con 14 círculos se pueden hacer la misma cantidad de cada. Con estas relaciones en mente, proponemos a los niños y niñas que investiguen qué pasará con 15 y con 16 círculos.

III. ¡Reflexionemos y vayamos más allá!

Pretendemos que los niños y niñas hayan descubierto y comprueben que, formados por 15 círculos, solo hay 2 rectángulos llenos: 15 y 5 + 5 + 5.

En cambio, con 16 círculos hay 3 rectángulos de cada tipo: 16, 8 + 8, 4 + 4 + 4 + 4, 7 + 1 + 1 + 7, 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 y 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5.

Para ir más allá, proponemos a los niños y niñas que encuentren una cantidad de círculos que permita construir más rectángulos vacíos que llenos. Y les damos una pista: hay una solución con una cantidad de círculos entre 10 y 20. La solución es precisamente con 20 círculos, que se consiguen:

• 3 llenos: 20, 10 + 10 y 5 + 5 + 5 + 5.
• 4 vacíos: 9 + 1 + 1 + 9, 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 8, 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 y 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6.

También podemos plantear más preguntas que los conduzcan a la búsqueda de regularidades y observaciones como:

• Si la cantidad de círculos es múltipla de 4, siempre se pueden hacer rectángulos vacíos.
• Siempre se pueden construir rectángulos llenos (como mínimo, el de una única fila) pero con una cantidad impar de círculos no se pueden conseguir rectángulos vacíos.
• Si la cantidad de círculos es un número cuadrado par mayor que 4 (por ejemplo, el 16 o el 36), se pueden hacer los dos tipos de rectángulos.
• A partir de 24 círculos se abren nuevas maneras de solucionar el problema:

• Con una cantidad 2n de círculos:
  • La cantidad de rectángulos llenos depende del número de divisores de n.
  • La cantidad de rectángulos vacíos es n/2 – 1 si n es par y (n – 3)/2 si n es impar.