Observa aquesta figura. És un rombe o és un quadrat?
Què dirien els teus alumnes?
En realitat, depèn. Depèn de si fas servir definicions excloents o definicions inclusives:
Sota les definicions excloents, la figura és un quadrat i prou. Sota les definicions inclusives, on unes categories queden dins les altres, la figura és un tipus de rombe molt concret, anomenat quadrat.
Classificacions excloents
Tradicionalment, en la geometria escolar, el vocabulari, les definicions i, per tant, les classificacions, eren excloents. Posem-ne un exemple: el triangle equilàter és aquell que té tots els costats iguals mentre que l’isòsceles és aquell que té dos costats iguals i el tercer, diferent.
Un altre exemple: el quadrat té quatre costats iguals i quatre angles rectes mentre que el rectangle té quatre costats iguals dos a dos, diferents entre ells, i quatre angles rectes. Ho veus? Aquests afegitons, en cursiva, fan que les definicions s’excloguin. D’aquesta manera, un triangle equilàter NO és un tipus concret de triangle isòsceles. Tampoc un quadrat NO és un tipus concret de rectangle, són figures que s’exclouen mútuament.
Avui en dia, però, la majoria dels qui ens dediquem a l’educació matemàtica ho veiem diferent. «Per què? Quines ganes de canviar les coses!», exclamaran alguns, més preocupats per no haver d’aprendre res nou que no pas per la coherència i claredat d’allò que transmeten als seus alumnes. Doncs precisament perquè la manca de coherència és un problema que provoca confusió a llarg termini. Prova-ho. Demana a qualsevol que t’expliqui què és un trapezi, o un paral·lelogram. Ja veuràs quin embolic! Tot plegat fomenta una imatge de les matemàtiques arbitrària i opaca que hauríem d’evitar.
Classificacions inclusives
Què proposem, doncs? Optar per les definicions inclusives, sempre que es pugui! Les definicions inclusives generen classificacions en què unes figures queden dins de les altres, com nines russes. Us sona, aquesta manera d’ordenar el món? Efectivament! Els biòlegs, que ja em perdonaran la simplificació, ho tenen claríssim: dins dels animals hi ha vertebrats, invertebrats, etc. Dins dels vertebrats, hi tenim mamífers, aus, peixos, etc. Dins dels mamífers hi ha primats, cànids, marsupials, etc. La biologia fa servir definicions inclusives. Però és que ni tan sols calia sortir fora de les matemàtiques! Si ens fixem en la classificació dels nombres, veurem que tota la vida ha estat inclusiva:
Tot quadra. De fet, aquesta manera de veure la geometria no és pas nova: als anys 40, la reconeguda matemàtica i pedagoga italiana Emma Castelnuovo (que bé mereix un article per ella sola) ja proposava aquesta mena de definicions i classificacions inclusives en el seu cèlebre llibre Geometria intuitiva.
La classificació inclusiva dels quadrilàters
Provem-ho amb la geometria plana. De totes les figures planes tancades, les que estan delimitades per costats rectes s’anomenen polígons. Dins dels polígons, en funció de la quantitat de costats, tenim els triangles, els quadrilàters, els pentàgons, els hexàgons, etc. I no s’acaba aquí: per una qüestió d’abundància en el nostre entorn, hem dedicat més esforços a classificar els triangles i els quadrilàters, tot filant una mica més prim que amb la resta. Dins dels quadrilàters hi tenim els trapezis (dos costats paral·lels); i dins hi tenim els paral·lelograms (costats paral·lels dos a dos); i dins, els rombes (quatre costats iguals) i els rectangles (quatre angles rectes); i en la intersecció dels rombes i els rectangles hi tenim els quadrats. Per tant, un quadrat és alhora un rectangle, un rombe, un trapezi, un paral·lelogram, un quadrilàter i un polígon, igual que el 5 és natural i alhora enter, racional i real.
La clau, si optem per les definicions inclusives, és transmetre a l’alumnat que quan volem referir-nos a qualsevol figura sempre fem servir la categoria més restrictiva possible. En aquesta manera d’ordenar el món no hi tenen cabuda les paraules acabades en -oide com ara romboide, o trapezoide. Aquest sufix, que ve del grec i vol dir ‘semblant a’, o ‘amb forma de’, i que sovint té connotacions despectives, resta rigorositat a la classificació i només aporta confusió.
Vegem l’esquema que surt del Repte 4 de les Aventures de 5è, on es demana als infants trobar tots els quadrilàters diferents possibles en un geoplà 3 × 3 i, després, classificar-los. Si no t’has enfrontat mai a aquest repte, no et facis espòiler, atura’t i cerca els quadrilàters abans de continuar!
Ja els has trobat tots? En tens la certesa? I com els classificaries? Vegem-ho!
Qualsevol activitat rica és com un arbre, amb un tronc principal i moltes branques que podem explorar. En aquest cas, una branca seria explorar l’àrea dels quadrilàters (per la qual cosa no cal cap fórmula, sinó prendre com a referència els quadradets que defineixen els punts del geoplà) o trobar-ne el perímetre (que, mentre no coneguem el teorema de Pitàgores, dependrà de la mesura amb regle). Però tornem al tronc i fixem-nos en el Calaix de sastre, l’àlbum d’adhesius que proposem completar al llarg de les Aventures de cicle superior. Així és com queda la classificació dels quadrilàters amb la representació visual de les propietats que permeten classificar-los:
La classificació inclusiva dels triangles
Qualsevol article que abordi les classificacions inclusives des de la perspectiva de la geometria plana no pot acabar sense parlar dels triangles. Com els classifiquem? El primer que cal recordar és que històricament, per classificar els triangles, hi ha dos grans criteris: segons els angles i segons els costats. I és precisament aquesta manera «doble» de mirar-se’ls el que ens ofereix una excel·lent oportunitat per treballar les taules de doble entrada a l’aula.
Als reptes 15 i 16 de les Aventures de 4t de primària, precisament demanem als infants que trobin tots els triangles diferents possibles en un geoplà 3 × 3 i els classifiquin en una taula de doble entrada. El més interessant d’aquesta classificació és que entenem que els triangles equilàters (tres costats iguals) són un cas particular dels isòsceles (almenys 2 costats iguals) i no mereixen una categoria per a ells sols. Per acabar, vegem com queda aquesta taula al Calaix de sastre:
Vols portar-ho a l’aula? Prova Innovamat gratis durant 30 dies.
