Uno strumento per trasformare le tue lezioni di matematica
È evidente che non proporremmo mai una moltiplicazione a un alunno che non sa ancora fare le addizioni. Se esaminiamo la questione un po’ più da vicino, ci rendiamo subito conto del fatto che moltiplicare non vuol dire altro che sommare più volte lo stesso numero e che, quindi, si tratta di un’attività che implica la conoscenza previa dell’addizione. L’apprendimento della matematica, soprattutto da un punto di vista numerico, ha una natura sequenziale: per comprendere un nuovo concetto, bisogna fare affidamento sul lavoro precedentemente svolto.
Traiettorie di apprendimento matematico
In questo senso, possiamo intuire che, sotto l’ombrello dei concetti e delle abilità matematiche che conosciamo, c’è uno scheletro, una struttura che sequenzia le abilità che un alunno può acquisire. È proprio qui che nascono le traiettorie di apprendimento, un concetto che ha preso forma in articoli e riviste specializzate in didattica negli ultimi 25 anni e che ha mostrato, nel tempo, il suo grande potenziale trasformativo. Offrire una definizione delle traiettorie di apprendimento interessa sopratutto i due protagonisti principali dell’educazione: alunni e insegnanti. Come insegnanti, conoscere l’evoluzione di un’abilità matematica ci consente di sapere quali passi un alunno ha probabilmente intrapreso per arrivare al punto in cui si trova, rendendoci consapevoli di ciò che potrebbe continuare a imparare a partire da quello stesso punto. Ciò ci permette di prendere decisioni didattiche più appropriate e documentate. Se accompagniamo queste traiettorie con esercizi specifici associati a ciascuna fase dell’apprendimento, ci troviamo di fronte a un prezioso strumento di valutazione formativa (Morales e Fernández, 2022). Diversi studi parlano dell’efficacia delle traiettorie di apprendimento come strumento di formazione per gli insegnanti (Wilson, 2013; Sarama, 2017), come strumento per migliorare l’apprendimento matematico degli alunni (Clements, 2011) e come pietra angolare di un quadro teorico per l’insegnamento basato sulla ricerca (Sztajn, 2012).
Le traiettorie di apprendimento sono state pensate per un insieme specifico di abilità, come contare o costruire il senso della misura. Alcune ricerche recenti si sono soffermate sullo sviluppo di queste traiettorie e noi di Innovamat ci siamo posti una domanda, nata quasi da una necessità: è possibile riunire tutte queste piccole sequenze all’interno di un’unica mappa che rappresenti le interdipendenze dell’apprendimento matematico? E, dato che ci piacciono le sfide, per rispondere alla domanda, ci siamo messi subito al lavoro.
Sequenza didattica di Innovamat
Dopo più di un anno di studio, letture, conversazioni con esperti e innumerevoli incontri per discutere e concordare idee, possiamo affermare con entusiasmo di aver preparato la prima versione di questa mappa per i contenuti matematici scolastici su cui di solito si lavora in età compresa tra i 3 e i 12 anni. Oggi continuiamo a sviluppare ulteriormente la mappa, completandola con i contenuti su cui di solito si lavora in età più avanzata. Un lavoro come questo, che ha richiesto l’assunzione di numerose e complesse decisioni, sarà sempre vivo e in continua costruzione e miglioramento. Parte del progetto è già completo di documentazione e supportato dalla letteratura specializzata, ma non sarebbe saggio pensare che le scoperte finiscono qui e che non potremo ulteriormente perfezionare e migliorare la mappa.
Ma vediamo nel dettaglio un paio di specifiche per comprendere come funziona la mappa e come interpretarla correttamente.
Questa “mappa” è in realtà un grafo, costituito da un insieme di nodi (le piccole unità di apprendimento) e da un insieme di frecce. Una freccia “A → B” indica che un alunno che non riesce a fare quanto proposto da A, molto probabilmente non riuscirà a fare nemmeno quanto proposto da B. È importante sottolineare, tuttavia, che tale freccia non implica che B sia il passo immediatamente successivo ad A. In effetti, la maggior parte dei nodi ha più di una freccia in entrata e in uscita. La parte del grafo corrispondente al senso numerico, ad esempio, da lontano ha questo aspetto:
Impressionante, vero? In questo momento ci sono circa 2 000 nodi e alcune migliaia di frecce che li collegano. Lo scopo, quindi, non è quello di visualizzare le dipendenze di apprendimento in modo così generico, ma di utilizzare questa enorme rete interconnessa per creare strumenti che ci aiutino realmente a costruire le conoscenze in classe.
Ritornando a una delle motivazioni iniziali alla base della creazione di questo progetto (che poi si è rivelata in grado di trasformare altre aree dell’apprendimento che non avevamo inizialmente preso in considerazione), avere un’unica traiettoria ci permette di orientare l’aiuto di cui un alunno ha bisogno per continuare a imparare. Immaginiamo che Martina abbia difficoltà a fare addizioni usando l’algoritmo in colonna. Guardando il grafo, possiamo rapidamente porci domande come: se proponiamo un’addizione in cui le unità dei due addendi non superano la decina, sarà in grado di risolverla? In caso contrario, riuscirebbe a risolvere la stessa addizione in modo manipolativo, usando i blocchi a base 10? E ancora, Martina sa rappresentare un numero con i blocchi a base 10? Oppure, è in grado di contare di 1 in 1 e di 10 in 10, all’interno dell’intervallo pertinente? Seguendo questo processo, possiamo percorrere il grafo all’indietro per individuare la fonte delle difficoltà di Martina e utilizzare le risorse associate a quel punto dell’apprendimento per identificare esercizi o indicazioni che ci aiutino a proporre soluzioni. E questo, grazie alla mappa, possiamo farlo con qualsiasi contenuto, indipendentemente dal nucleo tematico su cui stiamo lavorando.
Contenuti e processi
Data la nostra concezione della matematica basata sulle competenze, è importante sottolineare che tutto ciò che appare nel grafo riguarda i contenuti e non fa riferimento ai processi matematici (Risoluzione di problemi, Ragionamento e prova, Collegamenti, Comunicazione e rappresentazione). Tuttavia, occuparsi dei contenuti con attività o approcci didattici che non consentono lo sviluppo di questi processi, limiterebbe fortemente il potenziale di uno strumento come questa mappa. Lungi dal concepire l’insegnamento come un mero tour attraverso questi nodi, vogliamo che il grafo offra una visione trasversale dell’ordine in cui conviene costruire i contenuti.
È interessante pensare che una struttura di questo tipo è facilmente programmabile per essere letta da una macchina, e ciò ci permette di individualizzare l’apprendimento anche con l’uso di strumenti digitali. Ogni settimana, gli alunni che usano Innovamat fanno pratica sistematica nell’app per esercitarsi sui contenuti visti in classe. I dati relativi all’attività degli alunni estratti dal software, ben interpretati attraverso la mappa, possono essere utilizzati per identificare in quale fase si trova ogni alunno e quali argomenti dovrebbe approfondire, consolidare o esplorare. Conoscere queste informazioni, al livello di dettaglio che ognuno ritiene opportuno, è molto importante perché incoraggia gli insegnanti ad avere maggiore visibilità sul processo di apprendimento degli alunni e li orienta più facilmente verso nuove sfide.
Per adesso ci fermiamo qui: dopo tante ore trascorse tra punti e frecce, corriamo il rischio di entusiasmarci oltremodo e di aprirci fin troppo alle innumerevoli possibilità che questa mappa offre. Fatta questa breve introduzione, per il momento lasciamo a ognuno la libertà di pensare come meglio utilizzare questo strumento per trasformare la propria lezione o il proprio modo di orientare gli alunni nel loro percorso di apprendimento. Il tempo e l’interesse degli insegnanti nei confronti di queste traiettorie diranno se sarà opportuno proporre la mappa in un formato più accessibile e facile da usare, e renderle disponibili all’intera comunità educativa. Alla fine, sono proprio questi momenti di riflessione sulla classe che trasformano il nostro modo di apprendere e di insegnare.
- Douglas H. Clements & Julie Sarama (2004) Learning Trajectories in Mathematics Education, Mathematical Thinking and Learning, 6:2, 81-89, DOI: 10.1207/s15327833mtl0602_1
- Morales, M. M. & Fernández, J. F. G. (2022). La evaluación formativa: Estrategias eficaces para regular el aprendizaje (Biblioteca Innovación Educativa no 48). Ediciones SM España.
- Wilson, P.H., Mojica, G.F., & Confrey, J. (2013). Learning Trajectories in Teacher Education: Supporting Teachers’ Understandings of Students’ Mathematical Thinking. The Journal of Mathematical Behavior, 32, 103-121.
- Sarama, J., Clements, D.H., & Spitler, M.E. (2017). Evidence of Teacher Change after Participating in TRIAD’s Learning Trajectories-based Professional Development and after Implementing Learning Trajectory-based Mathematics Instruction. Mathematics Teacher Education and Development, 19, 58-75.
- Douglas H. Clements, Julie Sarama, Mary Elaine Spitler, Alissa A. Lange, & Christopher B. Wolfe. (2011). Mathematics Learned by Young Children in an Intervention Based on Learning Trajectories: A Large-Scale Cluster Randomized Trial. Journal for Research in Mathematics Education, 42(2), 127–166. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.42.2.0127
- Sztajn, P., Confrey, J., Wilson, P.H., & Edgington, C.P. (2012). Learning Trajectory Based Instruction. Educational Researcher, 41, 147 – 156.
- Siemon, D., Barkatsas, T. & Seah, R. (2019). Researching and Using Progressions (Trajectories) in Mathematics Education (Global Education in the 21st Century, 3). Brill | Sense.
