Begiratu irudi honi. Erronboa da, ala karratua da?
Zer esango lukete zure ikasleek?
Bada, definizio baztertzaileak ala inklusiboak erabili, horren arabera izango da:
Definizio baztertzaileen arabera, irudia karratua da, eta kitto. Definizio inklusiboen, hau da, kategoria batzuk beste batzuen barruan dauden definizioen arabera, irudia erronbo mota oso konkretua da, eta karratua deitzen zaio.
Sailkapen baztertzaileak
Tradizioz, eskolan irakasten zen geometrian, hiztegiak, definizioak eta, beraz, sailkapenak baztertzaileak ziren. Jar dezagun adibide bat: triangelu aldekidea alde guztiak berdinak dituen triangelua da; triangelu isoszeleak, berriz, bi alde berdin eta hirugarrena desberdina ditu.
Beste adibide bat: karratuak lau alde berdin eta lau angelu zuzen ditu; laukizuzenak, aldiz, lau aldeak binaka ditu berdinak (baina elkarren artean ezberdinak dira), eta lau angelu zuzen ditu. Ikusten? Letra etzaneko eranskin horiek definizioak baztertzaile bihurtzen dituzte. Era horretan, triangelu aldekidea EZ da triangelu isoszele mota zehatz bat. Karratua ere EZ da laukizuzen mota zehatz bat, elkar baztertzen duten irudiak dira.
Hala ere, gaur egun matematiken hezkuntzan aritzen garen gehienok beste era batera ikusten dugu. «Baina, zergatik? Hori da gauzak aldatzeko gogoa, hori!», esango dute batzuek, arduratuago baitaude ezer berririk ez ikasteko, ikasleei transmititzen dietena koherentea eta argia izatea baino. Bada, hain zuzen ere, koherentzia falta arazo bat delako epe luzera, nahasmena eragiten duelako. Egin ezazu proba. Eskatu edonori trapezio bat edo paralelogramo bat zer den azaltzeko. Ikusiko duzu zer-nolako nahastea! Horrek guztiak matematikak arbitrarioak eta opakuak direnaren ideia sustatzen du, eta saihestu egin beharko genuke.
Sailkapen inklusiboak
Beraz, zein da gure proposamena? Ahal den guztietan definizio inklusiboen alde egitea! Definizio inklusiboek irudi batzuk beste batzuen barruan dauden sailkapenak sortzen dituzte, panpina errusiarren antzera. Mundua ordenatzeko modu hori ezaguna egiten al zaizue? Hain zuzen ere! Biologoek, adibidez, oso argi dute: animalien barruan ornodunak, ornogabeak, etab. daude Ornodunen artean, ugaztunak, hegaztiak, arrainak eta abar ditugu. Ugaztunen artean primateak, kanidoak, martsupialak eta abar daude. Biologiak definizio inklusiboak erabiltzen ditu. Baina ez zen beharrezkoa matematiketatik urruntzea hori ikusteko! Zenbakien sailkapenari erreparatzen badiogu, ikusiko dugu beti izan dela inklusiboa:
Dena bat dator. Izan ere, geometria ikusteko modu hau ez da berria: 40ko hamarkadan, Emma Castelnuovo matematikari eta pedagogo italiarrak (berak bakarrik artikulu bat merezi du) era horretako definizio eta sailkapen inklusiboak proposatu zituen bere Geometria intuitiboaliburuospetsuan.
Laukien sailkapen inklusiboa
Proba dezagun geometria lauarekin. Irudi lau itxien artean, alde zuzenez mugatuta dauden irudiei poligono deitzen zaie. Poligonoen barruan, alde kopuruaren arabera, triangeluak, laukiak, pentagonoak, hexagonoak, etab. ditugu. Eta hori ez da dena: gure inguruan hainbeste ditugunez, triangeluak eta laukiak sailkatzeko ahalegin handiagoa egin dugu, eta gainerakoekin baino zehatzagoak izan gara. Laukien barruan trapezioak ditugu (bi alde paralelo); trapezioen barruan, paralelogramoak (alde paraleloak binaka); paralelogramoen barruan, erronboak (lau alde berdin) eta laukizuzenak (lau angelu zuzen); eta erronboen eta laukizuzenen ebakidura multzoan karratuak ditugu. Beraz, karratu bat aldi berean laukizuzena, erronboa, trapezioa, paralelogramoa, laukia eta poligonoa da, 5a zenbaki arrunta eta aldi berean osoa, arrazionala eta erreala den bezala.
Definizio inklusiboen alde eginez gero, gakoa ikasleei zera transmititzea da: edozein irudiri buruz hitz egin nahi dugunean, ahalik eta kategoria murriztaileena erabili behar dugula beti. Mundua ordenatzeko modu honetan ez dago lekurik “-oide” atzizkiarekin amaitzen diren hitzentzat, “erromboide” edo “trapezoide” eta halakoentzat, esaterako. Atzizki hori grezieratik dator eta “antzekoa” edo “-en formakoa” esan nahi du. Sarritan, mespretxuzko konnotazioak izaten ditu, eta, sailkapenari zorroztasuna kentzeaz gain, nahasmena baino ez du sortzen.
Ikus dezagun 5. mailako Abenturetako 4. erronkan sortzen den eskema: haurrek 3 × 3ko geoplano batean ahal dituzten lauki guztiak aurkitu behar dituzte, eta ondoren, sailkatu. Erronka honi ez badiozu inoiz aurre egin, ez egin spoiler-ik, gelditu hemen eta bilatu laukiak jarraitu baino lehen!
Denak aurkitu dituzu? Ziur zaude? Eta nola sailkatuko zenituzke? Ikus dezagun!
Edozein jarduera aberats zuhaitz bat bezalakoa da, enbor nagusi bat eta adar asko izaten baititu. Kasu honetan, adar bat honako hau izango litzateke: laukien azalera aztertzea (horretarako ez da inolako formularik behar, nahikoa da geoplanoko puntuek definitzen dituzten karratutxoak erreferentziatzat hartzea) edo laukion perimetroa aurkitzea (hori, Pitagorasen teorema ezagutu arte, erregelarekin neurtzen dugunaren araberakoa izango da). Baina itzul gaitezen enborrera, eta errepara diezaiogun Erreminta-kaxari, 5. eta 6. mailako Abenturetan osatzea proposatzen dugun eranskailu-albumari. Honela geratzen da laukien sailkapena, horiek sailkatzeko aukera ematen duten propietateen irudikapen bisualarekin:
Triangeluen sailkapen inklusiboa
Geometria lauaren ikuspegitik sailkapen inklusiboei buruz diharduen edozein artikuluk triangeluei buruz ere hitz egin behar du. Nola sailkatzen ditugu? Lehenik eta behin, gogoratu behar dugu historikoki triangeluak sailkatzeko bi irizpide nagusi daudela: angeluen arabera eta aldeen arabera. Eta ikuspegi “bikoitz” horrek aukera paregabea eskaintzen digu ikasgelan sarrera bikoitzeko taulak lantzeko.
Hain zuzen ere, Lehen Hezkuntzako 4. mailako Abenturen 15. eta 16. erronketan, 3 × 3ko geoplano batean triangelu posible guztiak aurkitzeko eta sarrera bikoitzeko taula batean sailkatzeko eskatzen diegu ikasleei. Sailkapen honetako gauzarik interesgarriena zera da, ulertzen dugula triangelu aldekideak (hiru alde berdin) isoszeleen (gutxienez 2 alde berdin) kasu berezi bat direla, eta ez dutela beraientzat bakarrik kategoriarik merezi. Amaitzeko, ikus dezagun nola geratzen den taula hau Erreminta-kaxan:
