Askotan, matematika konpetentzialen ikaskuntzaz hitz egiten denean, memorizazioarekin lotutako edozer ikasgelatik kanpo utzi behar dela ondorioztatzen dugu, hurbilketa tradizionalaren aurka. Badirudi, beste hainbat arlotan gertatzen den bezala, baten edo bestearen alde egin behar dugula: batetik, ikuspegi tradizionalaren aldeko apustua dugu (edukietan ardaztua, bertikala, oroimenean oinarritua eta errepikakorra dena: irakasleak azaldu eta ikasleak entzun), eta, bestetik, berdinen arteko elkarrizketa dugu, deskubrimenduaren alde eginez materialak manipulatuz eta konpetentzia-trebetasunak garatuz, edukiak praktikatu gabe eta finkatu gabe.
Ikuspegi hori agerian geratzen da biderkatzeko taulak buruz jakin behar ditugula esaten dugunean (adibide paradigmatiko bat jartzearren), izan ere, zur eta lur geratzen dira irakaskuntzako graduko hainbat ikasle edo formakuntzaren batean parte hartzen duten irakasleak. Izan ere, halaxe da: memorizazioak ere badu lekua konpetentzien ikuspegian. Baina ñabardura da memorizazioa ezin dela izan ikasteko modua. Memorizatzea ondorio bat da, oso positiboa, eta arintasuna lortzeko erabiliko dugu, baina ezin da protagonista izan. Ikus dezagun nola eta zergatik hasi berri dugun adibidearen bidez.
Zer dira biderkatzeko taulak?
Biderkatzeko taulak 1 eta 10 arteko bi zenbaki arrunt biderkatuz lortzen den emaitzen multzoa da (zenbaki arrunten tartea 0 eta 12 artekoa izan daiteke, lurralde bakoitzaren tradizioaren arabera). Biderkatzeko taulak menderatzea, ezagutza orokorra izateaz gain, ezinbesteko trebetasuna da biderketak eta zatiketak arintasunez egiteko, zatikiekin eta berreketekin lan egiteko, zatigarritasuna aztertzeko, etab. Tauletan gure eguneroko bizitzan egiten ditugun biderketa ohikoenen emaitzak jasotzen dira. Emaitza horiek behin eta berriz erabiltzen ditugunez, ez litzateke eraginkorra izango aldiro kalkulatzen aritzea. Horregatik da garrantzitsua haiek gogoratzeko gai izatea.
Ados gaude premisa horrekin, baina zenbait irakaslek (eta familiak!) muturrera eraman dute, eta haur batek buruz dakien emaitza kopurua bere matematika-mailaren adierazle ona dela uste dute. Ondorioz, ordu asko eskaintzen zaizkie taulei, eta ahalegin asko egiten dira haiek memorizatzeko. «Astelehenerako, 6ko taula buruz ikasi behar duzue». Eta haurra behin eta berriz buruz esatera! Abesti bat ikasten duenak egiten duen moduan.
Horrela, matematikaren irudi desitxuratu bat transmititzen dugu, bere benetako esentziatik urrun. Matematiketan aritzea ez da gertakariak buruz ikastea haiek ulertu gabe; aitzitik, ereduak eta erregulartasunak behatzea da, ondorioztatzea, ideiak lotzea eta arazoak sormenez ebaztea. Eta, bestela uste baduzu, ziur aski eskolan bizi izan dituzun matematikengatik izango da. Edward Frenkelek Harvardeko Unibertsitatean doktore titulua lortu zuen matematikan, eta honela azaltzen du bere bestseller Love and Math: The Heart of Hidden Reality (2014, Maitasuna eta matematikak: ezkutuko errealitatearen bihotza) lanean.
Gainera, oroimenaren aldeko apustua egiten badugu, huts egiten digunean aukerarik gabe geratzen gara. Egin proba: galdetu norbaiti zenbat den 7 × 8, testuingurutik kanpo eta ezustean. Askok jakingo dute erantzuna, noski, baina beste askori burua hutsik geratuko zaie, eta larritasun pixka bat ere sentituko dute.
Nola eraman ditzaket ikasgelara?
Duela gutxi UNO aldizkarian (Vilalta, Calvo eta Correig, 2023) argitaratu dugun artikulu batean azaltzen genuen modura, biderketa-taulak ez dira aurkeztu behar, banan-banan eraiki baizik, batuketaren iterazioaren eredutik eta laukizuzen eredutik hasita, eta dedukzioarekin asko jokatuz. Xehetasun gehiago nahi izanez gero, artikulu osoa irakurtzea gomendatzen dizuegu. Nolanahi ere, demagun taula guztiak eraiki ditugula eta ikasleek emaitzak ondorioztatzeko tresnak dituztela. Hor amaitzen al da kontua? Ez. Orain praktikatzeko garaia da, ikasle gehienak emaitzak azkar gogoratzeko gai izan daitezen. Hala ere, oroimena ez da emaitza bat azkar gogoratzeko modu bakarra: emaitza automatizatu ere egin daiteke.
Zer ezberdintasun dago automatizatzearen eta memorizatzearen artean? Van Den Heuvel-Panhuizen-ek (2008) honela azaltzen du:
Irakasle gisa, kanpoko behatzaileak garenez, automatizazioaren eta memorizazioaren arteko muga lausotu egiten da: zaila da zehaztea ikasleak erantzuna buruz dakien edo automatizatu egin duen. Edonola ere, gure zeregina da estrategia desberdinak eskaintzea ikasleei, gai izan daitezen tauletatik edo beharrezkotzat jotzen dugun oinarrizko beste edozein ekintzatatik emaitzak arin ondorioztatzeko eta gogorarazteko. Gure zeregina da, baita ere, haiek automatizatzeko edo buruz ikasteko jarduerak, espazioa eta denbora eskaintzea.
Biderkatzeko taulak lantzeko jarduera
Aipatutako UNOko artikuluan, taulak nola eraiki behar diren azaldu ondoren, hainbat jarduera proposatzen genituen praktikatzeko, behin eta berriz errepikatzearen estrategia alde batera utzita. Adibide bat ikusiko dugu amaitzeko (espazio -murrizketak zirela eta, ezin izan genuen adibide hau artikuluan ipini).
“Zein dago lekuz kanpo?” dinamikan (mundu anglosaxoian “Which One Doesn’t Belong?” izenez ezaguna), helburua multzoan bat ez datorren objektua zein den asmatzea da. Ahozko zeregin mota horiek bereziki interesgarriak dira klasea hasteko, talde osoaren arreta eztabaida baten inguruan jartzea ahalbidetzen baitute. Taulekin lan egin nahi badugu, hurrengo irudia erakuts dezakegu, eta lekuz kanpo zein dagoen galdetu:
Planteamendu horien mamia sortzen duten eztabaida da, erantzuna aukeratutako irizpidearen araberakoa baita. Kasu honetan, biderketa bakoitzaren biderkagaiei erreparatuz gero, lekuz kanpo dagoena 5 × 5 dela esan dezakegu, bi biderkagai berdin dituen bakarra delako. Emaitzei erreparatuz gero, lekuz kanpo dagoena 3 × 4 izan liteke, emaitza (12) 2rekin hasten ez den bakarra delako. 4 × 7 ere izan liteke, emaitzan (28) bi zenbaki bikoiti dituen bakarra delako. Edo izan liteke 7 × 3 baita ere, emaitzan (21) hamarrekoen zifra batekoen zifra baino handiagoa delako. Testuinguruak biderkatzeko taulen emaitza batzuk eztabaidatzera eramango gaitu, eta, bitartean, hainbat esparru landuko ditugu, hala nola arrazoiketa, hiztegi espezifikoaren erabilera, zenbakizko propietateen edo propietate geometrikoen arakatze sistematikoa eta loturak.
Van Den Heuvel-Panhuzien, M. (2008). Children Learn Mathematics. A Learning-Teaching Trajectory with Intermediate Attainment Targets for Calculation with Whole Numbers in Primary School. Dutch Design in Mathematics Education, V: 1. Utrecht. Freudenthal Institute, Sense Publishers.
Vilalta, A., Calvo, C., Correig, E. (2023). Automatizar las tablas de multiplicar: un propósito que va más allá de 3.º EP. UNO: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 99, 61-67.
