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Sono di più i numeri naturali o i numeri interi?

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Mariama è una alunna al secondo anno di scuola secondaria di primo grado che ama la matematica. Ce lo ha fatto sapere in una lettera che ha scritto a Sam, la protagonista della serie animata per la scuola secondaria. Quello che ha scritto ci ha stupito, vediamo cosa ne pensate voi:

Ho una domanda alla quale credo possiate rispondere. Sono di più i numeri naturali o i numeri interi? Vorrei anche sapere perché

Ricordo chiaramente la sensazione che ho provato quando ho aperto la lettera e soprattutto quando ho letto la domanda. Mi sono venute le lacrime agli occhi e ho iniziato a saltare di gioia per tutto l’ufficio perché non vedevo l’ora di far leggere quella lettera a tutti. Ogni volta che la rileggevo mi veniva la pelle d’oca. In un certo senso, era una prova del fatto che gli insegnanti (e le storie come Il viaggio di Sam) possono davvero aiutare gli alunni a porsi le domande di cui hanno bisogno per crescere, guidarli nella scoperta delle risposte e fare in modo che il loro approccio verso la matematica cambi.

Una ragazzina di dodici anni si è posta una domanda di importanza cruciale per la storia della matematica. E noi ci siamo trovati di fronte a una grande sfida: rispondere a questa lettera. Come disse il grande matematico tedesco Georg Cantor:

Questo post è stato ispirato da Mariama e da tanti altri alunni come lei. Da tutto ciò che sono in grado di generare quando diamo loro la parola.

L'interesse della domanda

La risposta alla domanda di Mariama, a prima vista, può sembrare ovvia. Se ci chiediamo quanti numeri naturali ci sono, la risposta che ci viene in mente è «infiniti». Lo stesso vale se ci chiediamo quanti sono i numeri interi, quindi può sembrare altrettanto ovvio rispondere: «anche in questo caso, infiniti». Ma, in qualche modo, sembra che ci debbano essere più numeri interi che naturali, no? Dopo tutto, i numeri naturali costituiscono solo una parte dell’insieme dei numeri interi. Se lasciamo da parte lo zero, ogni numero naturale ha un intero opposto (1, -1; 2, -2; ecc.). Quindi c’è qualcosa che ci sfugge.

Il concetto di infinito è estremamente complesso e poco intuitivo, ma allo stesso tempo affascinante, come spiegano Jonathan Halperin e Drew Takahashi nel documentario A Journey to Infinity. In effetti, solo nel XIX secolo Georg Cantor iniziò a far luce su questa idea. Interessato allo studio dell’infinito, Cantor diede inizio alla cosiddetta teoria degli insiemi, essenziale tanto allora come oggi per lo sviluppo della matematica. Nelle parole di un altro grande matematico tedesco, David Hilbert:

Anche Hilbert era attratto dall’infinito e fu uno degli strenui sostenitori della teoria di Cantor, che all’epoca aveva molti detrattori a causa delle idee altamente rivoluzionarie che conteneva. Con questa teoria, Cantor riuscì a formalizzare l’esistenza di infiniti di dimensioni diverse. Ma che dire dei numeri interi e naturali? Il loro infinito è della stessa dimensione? Per comprendere le idee più elementari che Cantor riuscì a formalizzare sull’infinito, bisogna viaggiare indietro nel tempo di qualche migliaio di anni.

La radice di tutto: il conteggio

I primi accenni alla matematica nascono dalla necessità di contare. Facile, no? Per contare, usiamo i numeri. Ma un tempo non si usavano i numeri che conosciamo oggi…
Nombres enters i naturals
Un pastore, per tenere traccia del numero di pecore del gregge, doveva avere tante pietre quante pecore. Quando le pecore andavano al pascolo, metteva da parte una pietra per ogni pecora che usciva dal recinto. E poi, mano a mano che le pecore rientravano, rimetteva le pietre nella loro posizione iniziale.

Cubets enters i naturals«Ci sono più cubetti gialli che verdi perché dopo aver abbinato tutti i cubetti gialli e verdi, ne è avanzato uno giallo».

Se, invece, possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi degli insiemi (cioè una corrispondenza 1 a 1 per tutti gli elementi di entrambi gli insiemi), allora i due insiemi avranno lo stesso numero di elementi.

Numeri interi e numeri naturali

Cosa succede se confrontiamo insiemi con un numero infinito di elementi, come gli insiemi di numeri interi e naturali? Continuiamo a confrontare gli elementi 1 a 1: diciamo che due insiemi sono ugualmente grandi se possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra loro. Consideriamo l’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri interi:

ℕ={0, 1, 2, 3…}       ℤ={…, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3…}

Forse, a prima vista, sembra impossibile stabilire questa corrispondenza, ma se riflettiamo un po’, vediamo che è possibile associare, in modo ordinato, i numeri interi non negativi ai numeri naturali pari e i numeri interi negativi ai numeri naturali dispari:

ℕ →  ℤ

0 → 0

1  → -1

2 → 1

3 → -2

4 → 2

Poiché questa corrispondenza è biunivoca, possiamo dire che la quantità dei numeri interi è uguale a quella dei numeri naturali. Come formalizzato da Cantor, l’infinito dei numeri naturali è grande quanto l’infinito dei numeri interi. E questa idea apre le porte a un mondo affascinante ed estremamente complesso da esplorare, pieno di domande molto interessanti che approfondiremo in un’altra occasione. Ma chi volesse continuare a esplorare infiniti di diverse dimensioni e analizzare altri insiemi come quelli dei numeri razionali o dell’intervallo [0,1], può leggere il magnifico articolo “How Big Is Infinity?”, sulla rivista Quanta Magazine.

Detto questo, sembra che la quantità di numeri interi e naturali si equivalga. Lo stesso varrebbe se dovessimo confrontare la quantità dei numeri pari con la quantità dei numeri naturali. Ma qualcosa non torna. Intuitivamente, ci verrebbe da pensare che i numeri pari sono la metà dei numeri naturali e che i multipli di 5 sono un quinto dei numeri naturali. Ma attenzione! Potrebbe essere necessario cambiare punto di vista e dare risposta al nostro intuito con la matematica.

Formalizzare l'intuizione

Se ci allontaniamo da questi infiniti della teoria degli insiemi e ci addentriamo nella teoria dei numeri, ecco che nella letteratura matematica compare la densità naturale: un concetto che cerca di descrivere la grandezza di un sottoinsieme di numeri all’interno dell’insieme dei numeri naturali. Il concetto di densità è legato alle idee probabilistiche ed è in linea con ciò che ci suggerisce l’intuito, ma presenta anche alcuni svantaggi, di cui parleremo, però, in un altro articolo.

Immaginiamo di voler analizzare, per diversi valori di 𝑛, la proporzione di numeri pari minori di 𝑛 all’interno dell’insieme dei numeri naturali minori di 𝑛. Se chiamiamo P(𝑛) la quantità di numeri pari minori di 𝑛 e studiamo il quoziente P(𝑛) / 𝑛 per diversi valori di 𝑛, otteniamo:

Numeri interi
Naturali

Numeri Interi Naturali Innovamat

Come si può notare, aumentando 𝑛, il quoziente tra la quantità di numeri pari minori di 𝑛 e la quantità di numeri naturali minori di 𝑛 si avvicina a 1/2.
Con l’idea di muoverci verso il limite quando 𝑛 tende a infinito, definiamo la densità naturale dei numeri pari, che è uguale a 1/2. Questa densità può essere estesa (anche se non sempre) ad altri sottoinsiemi dei numeri naturali.

Ma Mariama non chiedeva dei sottoinsiemi dei numeri naturali, bensì di confrontare i numeri interi con quelli naturali. Sebbene il concetto di densità intera non sia molto diffuso nella letteratura di riferimento, potremmo costruirlo prendendo come punto di partenza l’insieme dei numeri interi anziché l’insieme dei numeri naturali. Chiamiamo Z(𝑛) la quantità di numeri interi di valore assoluto inferiore a 𝑛. Ad esempio, per 𝑛 = 10, abbiamo:

Z(10) = #{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 19

Per studiare la proporzione dei numeri naturali minori di 𝑛 all’interno dell’insieme dei numeri interi di valore assoluto minore di 𝑛, possiamo replicare il ragionamento seguito in precedenza per confrontare numeri pari e numeri naturali:
Númeri interi

Innovamat numeri interi naturali
Come in precedenza, si può osservare che, aumentando 𝑛, il quoziente della quantità dei numeri naturali minori di 𝑛 per la quantità di numeri interi di valore assoluto minori di 𝑛 si avvicina a 1/2.

Se torniamo a muoverci verso il limite quando 𝑛 tende a infinito, possiamo definire la densità intera dei numeri naturali, che è pari a 1/2.

Queste idee sulle densità dei sottoinsiemi nell’insieme dei numeri naturali hanno suscitato l’interesse di molti importanti matematici, come l’ungherese Paul Erdös (1913-1996), considerato uno dei referenti più prolifici di tutti i tempi, o l’australiano Terrence Tao, uno dei matematici più importanti di oggi. Ma restano ancora molte incognite da scoprire su questo tema.

E le conclusioni?

Se è vero che possiamo dire, grazie a Cantor, che l’insieme dei numeri interi è grande quanto l’insieme dei numeri naturali, abbiamo anche argomenti probabilistici per affermare che i numeri naturali sono la metà dei numeri interi. Forse ti aspettavi una risposta più precisa alla domanda posta, o forse, al contrario, sei felice di scoprire che la matematica è un mondo molto più complesso e creativo di quanto immaginavi e che per una domanda posta non esiste un’unica risposta.

In effetti, non c’è branca della matematica che non abbia domande senza risposta; domande che sono state poste (e continuano a essere poste) dalla comunità matematica e che fanno progredire e crescere inesauribilmente questa disciplina.

Se gli alunni ci pongono domande alle quali non sappiamo rispondere, niente paura; ascoltiamole e facciamone tesoro. Spieghiamo loro che la matematica è una realtà che si nutre di domande a cui dare risposta. Speriamo che Mariama, mossa dalla curiosità, continui a porsi domande di questo tipo che contribuiscano a suscitare l’interesse della comunità matematica.

  • Marc Caelles

    Insegnante di matematica per vocazione, con formazione in matematica. Attualmente è professore di matematica presso la Scuola Sant Gregori. Combina la sua attività di insegnante alla formazione docente e alla creazione di contenuti presso il dipartimento didattico di Innovamat.

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