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La sottrazione con il cambio

La sottrazione è uno degli argomenti più importanti della scuola primaria. In questo articolo parleremo, nello specifico, della sottrazione con il cambio, cioè quella che prevede il prestito di unità, decine e così via.

Osservate questo esempio:

A scuola, in molte occasioni, ripetevamo la procedura del prestito di una unità (o decina, ad esempio) e capivamo in maniera un po’ vaga ciò che facevamo: «Nell’operazione in colonna, fra il 5 e il 12 c’è una differenza di 7 unità dopo aver chiesto prestito un 1».

Ma cosa ho chiesto in prestito? E da dove viene quel 12, se la sottrazione è 72 meno 35?

Molti di noi non lo sapevano. Ma, obbedienti, ascoltavamo il maestro. E dato che non poteva sbagliare e chiedevamo sempre in prestito un 1, non dovevamo nemmeno pensarci tanto. Funziona? Allora facciamo così!

E così queste informazioni sono rimaste impresse nella nostra memoria (oppure non tanto). Anche oggi, capita che nostro figlio torni a casa con una sottrazione che non riesce a risolvere e spesso non capiamo cosa ci sta spiegando o lui stesso non capisce cosa gli stiamo dicendo.

La matematica va oltre gli algoritmi

Non ci stancheremo mai di ripetere che il nostro modo di vedere la matematica non si limita a eseguire calcoli e a lavorare su una serie di procedimenti che possiamo applicare in modo più o meno analogo a circostanze simili tra loro. Riteniamo che i nostri alunni debbano essere competenti e saper affrontare gli imprevisti. Devono imparare dalla natura stessa degli elementi matematici con cui lavorano e costruire la conoscenza ragionando, ricercando regolarità o creando collegamenti.

Ricordiamo che ciò che noi matematici chiamiamo algoritmi, nonché l’annotazione scritta della sequenza ordinata di passaggi per trovare il risultato di un’operazione, non sono unici. Impariamo alcuni algoritmi o altri in modo più o meno casuale, in base alla tradizione culturale del luogo in cui studiamo, perché sono quelli più accettati socialmente o perché sono più facili da spiegare e, quindi, da far capire.

Per una comprensione più approfondita di ciò che leggeremo in questo articolo, potete consultare quest’altro articolo che mette in relazione le addizioni e le sottrazioni (essendo entrambe operazioni additive) con la linea numerica.

Cosa significa fare le sottrazioni? Per quale motivo è importante saperlo fare?

A volte tendiamo ad affermare che, avendo le calcolatrici, non è così importante imparare a fare calcoli. Su questo non siamo d’accordo. Riteniamo che la calcolatrice sia uno strumento utile e interessante a lezione di matematica se facilita un esercizio la cui riuscita ne richiede l’uso, ma non vogliamo che i nostri bambini ne siano dipendenti. La calcolatrice è ammessa, ma a scopo didattico. Vogliamo che gli alunni sviluppino abilità e strategie per risolvere le addizioni e le sottrazioni in modo efficiente.

Bisogna tenere a mente che sottrarre significa togliere, mentre sommare significa aggiungere. Ma sottrarre implica anche trovare la distanza tra due numeri.

Vediamo come lavoriamo sulla sottrazione a lezione di matematica.

Come sottraiamo?

La prima cosa da osservare è che, quando facciamo un’operazione in classe, ogni cifra dei numeri coinvolti rappresenta una quantità. E non dobbiamo dimenticarlo. Dobbiamo ripeterlo continuamente nelle nostre lezioni. Nella nostra sottrazione all’inizio dell’articolo, 72 meno 35, il 7 rappresenta sette decine, quindi 70 unità. E il 3 rappresenta tre decine, quindi 30 unità. Questa è la chiave per capire cosa succede in qualsiasi sottrazione, che sia con il cambio o meno (spoiler: è per questo motivo che si parla di «prendere in prestito»!).

Un’altra costante nelle nostre lezioni è che presentiamo agli alunni diversi modi di affrontare problemi e situazioni, per garantire che non si limitino a un solo modo di pensare ma che esplorino ragionamenti e procedimenti diversi. Possiamo sottrarre per approssimazione, oppure in modo esatto eseguendo salti sulla linea numerica, o ancora applicando il binomio fatti conosciuti-fatti derivati, o con gli algoritmi in colonna, ma sempre dopo aver capito cosa stiamo facendo.

Come abbiamo detto, un modo per fare le sottrazioni prevede l’uso delle approssimazioni. Non faremo sottrazioni con numeri grandi, ma lavoreremo su come approssimare il risultato di una sottrazione con numeri grandi (se non abbiamo la calcolatrice a portata di mano). Ad esempio, per sottrarre 58 da 127 può essere utile capire che, in realtà, possiamo fare 130 meno 60 e che il risultato non può essere molto lontano da 70. Ragionando arriveremo al risultato esatto che è 69 e per farlo ascolteremo le varie argomentazioni all’interno della classe. È importante sapere cosa aspettarsi dal risultato.

Le risposte del gruppo classe possono farci capire se siamo sulla strada giusta. Per verificare l’effettiva correttezza del risultato, faremo riferimento alla linea numerica e ai calcoli per scomposizione dei numeri, su cui i bambini lavorano fin dalla scuola dell’infanzia.

Dalla linea numerica alla sottrazione con il cambio

Del collaret de boles a la línia numèrica buida

Nel primo anno di scuola primaria, si lavora in maniera approfondita con la linea numerica. I bambini sono in grado di fare le prime addizioni ed esplorare il senso numerico. E possiamo usare la linea numerica anche per aiutarli a capire concetti come la traslazione della sottrazione: tra 3 e 9 e tra 8 e 14 c’è la stessa differenza, perché nel secondo caso aumentiamo i due numeri di 5 unità. Quindi la differenza deve necessariamente rimanere costante.

Ma se vogliamo che risolvano sottrazioni di qualsiasi tipo, alla fine del percorso, dopo aver capito cosa stanno facendo, possiamo spiegare loro un algoritmo comune in modo tale che abbiano ancora più strumenti per risolvere le sottrazioni.

Algoritmo in colonna per la sottrazione con il cambio

Una volta consolidato tutto ciò, presentiamo un procedimento più trasparente per risolvere le sottrazioni, in cui l’espressione del processo non nasconde ciò che viene fatto con le quantità, e che è molto più facile da capire per i bambini.

Quando sottraiamo 35 da 72 non possiamo togliere 5 unità dal 2, per cui toglieremo 5 dal 12. E il 12 deriva dalla scomposizione del 72 in 60 più 12. In questo modo, scopriamo la differenza tra 5 e 12 per la colonna delle unità e la differenza tra 30 e 60 per la colonna delle decine.

Ricordate che la persona che meglio può orientarvi nella comprensione di questo e altri argomenti è il responsabile della lezione di matematica, ovvero l’insegnante che lavora ogni giorno a stretto contatto con vostro figlio.

E se volete saperne di più, ecco una pillola in cui uno dei nostri referenti didattici, Cecilia Calvo, entra nei dettagli di questo e altri temi.

Come aiutare a casa con la sottrazione con il cambio

Ovviamente, anche voi potete aiutare i vostri figli a casa! Qui trovate alcuni esercizi e giochi per fare pratica con loro:

  • Giocate con la scomposizione delle cifre di un numero con più di una cifra (il 27 è composto da 2 decine, ossia da due gruppi di 10 unità, e da altre 7 unità).
  • Esercitatevi con i salti sulla linea numerica. Anche se si tratta di un argomento conosciuto, ciò darà loro una certa fluidità di calcolo.
  • Cercate con loro coppie di numeri che, una volta sottratti, danno lo stesso risultato.
  • Differenziate con loro, più volte, la cifra dal numero. Usate entrambe le parole con attenzione e precisione.

Speriamo davvero che i pomeriggi che dedicate alle sottrazioni con i vostri figli, d’ora in poi siano più produttivi e tranquilli.

Fateci sapere come va! Non vediamo l’ora di conoscere le vostre esperienze.

  • Laura Ansorena

    Laureata in architettura e insegnante per vocazione. Amante del bello e del reale, proprio come la matematica. Attualmente insegna matematica, progettazione tecnica e progettazione presso l'istituto Aula Escola Europea. All'attività di insegnamento affianca la collaborazione con il dipartimento didattico di Innovamat.

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