In questa occasione, il contesto reale di questo problema è l’evoluzione degli acquisti di DVD nel Regno Unito tra il 2008 e il 2014. Ci presentano un grafico interattivo (posizionando il cursore su ogni punto, ci mostra il valore esatto). Inoltre, sull’asse orizzontale ci mostrano non l’anno (valore assoluto), ma il numero di anni trascorsi dal 2008 (valore relativo).

Nella prima domanda ci presentano 3 affermazioni e ci chiedono di determinare, per ciascuna, se sono vere o false.

Leggiamo la prima: “Il numero di DVD venduti è diminuito di circa il 50% dal 2008 al 2014.” Cioè, la variazione delle vendite tra il 0 (2018) e il 6 (2014) sull’asse orizzontale.

Possiamo verificarlo per ispezione diretta: il numero di vendite dell’anno 2014 è di 124,9 (cioè circa 125), e quello dell’anno 2008 è di 252,9 (circa 250). Cioè, la diminuzione è di circa il 50%.

Leggiamo la seconda: “Il numero di DVD venduti è diminuito della stessa quantità ogni anno dal 2008 al 2014.”

In questa domanda ho sbagliato. L’affermazione è FALSA. A prima vista nell’immagine, sembra una distribuzione lineare, ma se guardiamo dettagliatamente il valore di ogni punto e facciamo ogni differenza, vediamo che ci sono anni che diminuiscono significativamente più di altri. E naturalmente, ci accorgiamo che in questo caso, nell’enunciato non dicono “circa”. E dato che abbiamo appena risolto vari problemi che possono essere risolti con stime, può facilmente portare in errore.

Nella tabella possiamo vedere che c’è una differenza significativa tra l’anno con la minore variazione (18,3 milioni) e quello con la maggiore (29,8 milioni), constatando che l’affermazione è FALSA. Il fatto che la scala sia in milioni fa anche sì che vediamo che le differenze sono davvero significative.

Andiamo alla terza affermazione: “La pendenza della linea rappresenta la diminuzione media annua delle vendite di DVD dal 2008 al 2014.”

Qui ci troviamo di fronte a un’altra affermazione vera. L’espressione analitica che definisce la retta è: y = 252,9 – mx, dove y è il valore delle vendite nell’anno x e m la pendenza che corrisponde alla media di diminuzione dal 2008 al 2014.

In questo caso vediamo che è molto importante capire cos’è la pendenza di una retta e stiamo facendo connessioni tra il concetto di pendenza di una retta e il concetto di funzione lineare.

PISA valuta questa attività con difficoltà moderata (Livello 4) se categorizziamo correttamente le 3 affermazioni. Se, al contrario, categorizziamo correttamente solo 2 delle 3 affermazioni, ci valuta con il livello 1a. La valutazione è molto rigorosa e colloca qualsiasi studente che abbia commesso il minimo errore al livello più basso.

Passiamo alla seconda domanda di questo problema.

Questa è di maggiore difficoltà. Ci chiedono in che anno si venderanno meno di 1 milione di DVD, se la tendenza si mantiene. Ci danno l’espressione della retta:

d = 254 -22n

Dove “d” è il valore delle vendite nell’anno n.

Per sapere l’anno, prima dobbiamo capire quanti anni devono passare affinché d < 1. Per farlo, risolviamo l’espressione 1 = 254 -22n, e otteniamo che n = 11,5.

In questo caso, la risposta si inserisce in un campo di testo. Non c’è scelta multipla.

Potrebbero verificarsi diverse situazioni:

• Lo studente inserisce il valore 11,5, dimenticando che il valore n sono date relative (cioè, quanti anni sono passati dal 2008).
• Lo studente ricorda che si tratta di date relative e inserisce il valore 2019,5 (la somma di 2008 + 11,5).
• Lo studente converte il risultato 11,5 in un anno naturale (12) e lo somma a 2008, inserendo 2020 come risposta.

PISA valuta la difficoltà di questa attività con un Livello 6 nel caso in cui la risposta sia 2020. La penalizzazione per non convertire il risultato in un anno naturale (cioè, risposta 2019 o 2019,5) è lieve, posizionando il risultato al Livello 5.

Questo caso è interessante, perché risolvere un’equazione, trovando l’antecedente di un valore dato, potremmo considerarlo procedurale, ma, poiché non è propriamente parte del programma di 15 anni per tutti i paesi, si potrebbe considerare che lo studente che lo risolve sta mettendo in gioco la risoluzione dei problemi, l’interpretazione delle rappresentazioni e dei suoi processi. E questo consolida l’idea che quando uno studente non conosce o non ha automatizzato una tecnica per risolvere un esercizio, la situazione è ancora problematica e per risolverla, lo studente deve mettere in gioco i processi matematici.

L’ultima domanda è più semplice della precedente e ci chiede di analizzare le tendenze in un grafico a punti. Ai dati del grafico precedente si aggiungono le vendite di DVD per anno dal 1997, e l’asse orizzontale diventa di valori assoluti. Inoltre, ci dà una parte come esempio: gli anni dal 2008 al 2014 che abbiamo studiato a fondo nelle domande precedenti.

Prima di tutto, la tendenza tra il 1998 e il 2004, dove possiamo osservare chiaramente una distribuzione non lineare. Inizia lentamente dal 1998 al 2000 e si spara dal 2001 al 2004 intuendo che potrebbe essere quadratica. Le risposte corrette sono crescenti e non lineari.

Tra gli anni 2005 e 2007, la tendenza continua a crescere ma questa volta sì, in modo lineare.

PISA colloca questa attività come Livello 3 se indoviniamo tutto, o Livello 1a se indoviniamo almeno le due opzioni di uno dei tratti.

Se notiamo, anche in questo problema si tratta di capire concettualmente cos’è una crescita o una diminuzione lineare.