Skip to content

Zer daude gehiago: zenbaki osoak ala arruntak?

enters i naturals innovamat

Mariama DBHko 1. mailako ikaslea da, eta asko gustatzen zaio matematika. Gutun bat idatzi zion Sami, gure bigarren hezkuntzako tramako protagonistari, eta horrela izan dugu guk haren berri. Gutunean zioenak liluratuta utzi gintuen. Ea zer diozuen zuek:

Galdera bat daukat, ea erantzuna aurkitzen lagun diezadakezun: zure ustez, zer daude gehiago: zenbaki arruntak ala osoak? Zergatia ere jakin nahi nuke.

Primeran gogoratzen dut gutuna irakurtzean eta, batez ere, galdera irakurtzean izan nuen sentsazioa. Begiak malkoz bete zitzaizkidan, eta oihuka hasi nintzen bulegoan, pozez zoratzen, gutun hau mundu guztiari erakutsi behar niola sentitzen bainuen. Irakurtzen nuen aldiro oilo-ipurdia jartzen zitzaidan. Froga txiki horrek erakusten du irakasleek eta istorioek —hala nola Samen Bidaiak— gure ikasleengan nahi dugun aldaketa sor dezaketela: norberak bere buruari egin beharreko galderak egiten laguntzen diegu ikasleei, eta gidatu egiten ditugu erantzunak aurki ditzaten.

Hamabi urteko neska bat matematikaren historian garrantzi handia duen galdera bat egiten ari zitzaion bere buruari. Eta gu erronka handi baten aurrean geunden: nola erantzun gutunari? Georg Cantor matematikari alemaniar handiak esan zuen moduan,

Blogeko sarrera hau Mariamak eta bera bezalako beste hainbeste ikaslek inspiratuta jaio zen. Izan ere, haurrei hitz egiten utzi arte ez gara ohartzen burutazio harrigarriak izan ditzaketela.

Galderaren interesa

Hasiera batean, Mariamaren galderaren erantzunak agerikoa dirudi. Geure buruari zenbat zenbaki arrunt dauden galdetzen badiogu, «infinitu» pentsatuko dugu, ziur aski. Gauza bera gertatzen da zenbat zenbaki oso dauden galdetzen badiogu geure buruari: «Kopuru bera dago, infinitu». Baina, nolabait, badirudi gehiago izan behar direla zenbaki osoak zenbaki arruntak baino, ezta? Azken finean, zenbaki arruntak zenbaki osoen multzoaren zati bat baino ez dira. Zeroa alde batera uzten badugu, zenbaki arrunt bakoitzak aurkako beste zenbaki oso bat du (1, -1; 2, -2; etab.). Beraz, zerbaitek ihes egiten digu.

Izan ere, infinitua oso kontzeptu konplexua da, eta ez da batere intuitiboa; kontzeptu liluragarria da, Jonathan Halperinek eta Drew Takahashik zuzendutako A Trip to Infinity (Bidaia infiniturantz) dokumentalak azaltzen duen moduan. Georg Cantor izan zen XIX. mendean infinituaren inguruan zegoen iluntasunari argi apur bat jarri ziona. Infinitua ikertzea asko interesatzen zitzaionez, Cantorrek multzoen teoria deritzona hasi zuen, gaur egungo matematika garatzeko ezinbestekoa izan dena (eta dena). David Hilbert matematikari alemaniar handiaren hitzetan,

Cantorrek garai hartan aurkari asko izan zituen bere ideia iraultzaileengatik, eta Hilberti ere asko interesatzen zitzaionez infinitua, Cantorren teoriaren defendatzaile sutsuetako bat izan zen. Teoria horrekin, Cantorrek tamaina ezberdinetako infinituak daudela formalizatu ahal izan zuen. Beraz, zer gertatzen da zenbaki osoekin eta arruntekin? Infinituak tamaina berekoak dira, ala ez? Cantorrek infinituari buruz formalizatu zituen ideiarik oinarrizkoenak ulertu ahal izateko, denboran atzera bidaiatu behar dugu, duela milaka urtera.

Guztiaren erroa: zenbaketa

Matematikaren lehen zantzuak gauzak zenbatzeko beharretik sortu ziren. Orain erraza da; zenbatzeko, zenbakiak erabiltzen ditugu. Baina antzina ez zituzten gaur egun ezagutzen ditugun zenbakiak erabiltzen…
Nombres enters i naturals

Artzain batek artaldeko ardi kopurua kontrolatu nahi bazuen, ardi adina harri eduki behar zuen, besterik ez. Ardiak bazkatzera atera nahi bazituen, baserritik zenbat ateratzen ziren kontrolatzen zuen, ateratzen zen ardi bakoitzeko harri bat baztertuz. Eta gero, ardiak itzuli ahala, harriak ere berriz lehengo multzoan ipintzen zituen banan-banan.

Beraz, zenbaketaren noziorik funtsezkoena 1:1 korrespondentzia ezarri eta elementu multzoak konparatzea da. Demagun bi multzo ditugula, A eta B, eta bi multzo horien artean 1:1 korrespondentzia ezarri dugula. A multzoko elementu bakoitza B multzoko elementu batekin elkartzen badugu, eta hala ere B multzoan elementuak solte baditugu, horrek esan nahi du B multzoan A multzoan baino elementu gehiago daudela. Zenbatzen ez dakien haur batek estrategia hori erabiliko du ziur aski bi multzo konparatzeko:

Cubets enters i naturals«Kubotxo hori gehiago daude berdeak baino, kubotxoak binaka jarri ondoren hori bat solte geratu delako».

Aitzitik, multzoetako elementuen artean korrespondentzia biunibokoa ezar badezakegu —hau da, 1:1 korrespondentzia bi multzoetako elementu guztien artean—, badakigu bi multzoek elementu kopuru bera dutela.

Zenbaki osoak vs arruntak

Zer gertatzen da, beraz, elementu kopuru infinitua duten multzoak alderatu nahi ditugunean, esate baterako, zenbaki osoak eta zenbaki arruntak? Elementuak banaka konparatzearen ideian oinarrituko gara berriz: bi multzoek elementu kopuru bera dutela esango dugu, bi multzo horien artean 1:1 korrespondentzia ezar badezakegu. Zenbaki arrunten eta zenbaki osoen multzoak hartuko ditugu:

ℕ={0, 1, 2, 3…}       ℤ={…, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3…}

Lehen begiratuan, agian, irudituko zaigu ezin dugula korrespondentzia hori ezarri. Hala ere, apur bat pentsatuz gero, ikusiko dugu era ordenatuan elkartu ditzakegula zenbaki ez negatibo osoak zenbaki arrunt bikoitiekin, eta zenbaki negatibo osoak zenbaki arrunt bakoitiekin:

ℕ → ℤ

0 → 0

1 → -1

2 → 1

3 → -2

4 → 2

korrespondentzia hori biunibokoa denez, zenbaki osoen kopurua eta zenbaki arrunten kopurua berdina da. Cantorrek formalizatu zuen bezala, zenbaki arrunten infinitua zenbaki osoen infinitua bezain handia da. Eta horrek galdera interesgarriz betea dagoen eta ikertzeko oso konplexua eta liluragarria den mundu baterako atea irekitzen du, baina, momentuz, atea itxita utziko dugu. Dena dela, tamaina desberdineko infinituak esploratzeko eta beste multzo batzuk (zenbaki arrazionalak edo [0,1] tartea, adibidez) aztertzeko gogoz eta jakin-minez geratu bazara, Quanta Magazine aldizkariaren «How Big Is Infinity?» artikulu bikaina irakur dezakezu.

Esandakoak esanda, badirudi zenbaki osoen eta zenbaki arrunten kopurua berdina dela. Eta gauza bera gertatuko litzateke zenbaki bikoitien kopurua zenbaki arrunten kopuruarekin alderatuko bagenu. Baina zerbaitek ez gaitu konbentzitzen, ezta? Intuitiboki, pentsatuko genuke zenbaki bikoitiak zenbaki arrunten erdia direla, edo 5en multiploak baino bost aldiz zenbaki arrunt gehiago dagoela. Bada, agian, komenigarria izan daiteke ikuspuntua aldatzea, matematikak intuizioari erantzuteko modua aurkitzeko.

Intuizioa formalizatzea

Multzoen teoriaren infinitu horietatik urrundu eta zenbakien teorian murgiltzen garenean, literatura matematikoan dentsitate naturala aurkituko dugu: kontzeptu hori zenbaki arrunten multzoaren barruan zenbakien azpimultzo bat nolako handia den deskribatzen saiatzen da. Dentsitate kontzeptu hori oso lotuta dago probabilitate-ideiekin, eta intuitiboki pentsatzen dugunarekin bat dator, baina eragozpen batzuk ere baditu —eta gaur ez gara horietan sartuko—.

Imajinatu, 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki arrunten multzoan, 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki bikoitien proportzioa aztertu nahi dugula 𝑛-k balio jakin bat duenean. 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki bikoitien kopuruari P(𝑛) deitzen badiogu, eta 𝑛-k balio jakin bat duenean P(𝑛) / 𝑛 zatidura aztertzen badugu, hau lortuko dugu:
Tabla de números enteros y naturales
Números enteros y naturales
Números enteros naturales matemáticas

Ikusten dugunez, 𝑛 handitzen goazen neurrian, 𝑛 baino txikiagoak diren bikoitien kopurua zati 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki arrunten kopurua egiten badugu, zatidura nahi adina hurbiltzen da 1/2era.

Ideia horrekin, mugara joz 𝑛-k infinituranzko joera duenean, zenbaki bikoitien dentsitate naturala zehazten da: 1/2en baliokidea da. Dentsitate hori heda daiteke —nahiz eta ez beti— zenbaki arrunten beste azpimultzo batzuetarako.

Baina Mariamak ez zuen zenbaki arrunten azpimultzoez galdetzen, zenbaki osoak zenbaki arruntekin konparatu nahi zituen. Nahiz eta dentsitate osoaren antzeko kontzeptu bat literaturan oso hedatuta ez egon, antzera eraiki genezake, erreferentzia gisa zenbaki osoen multzoa hartuz arrunten multzoaren ordez. Z(𝑛) deituko diogu 𝑛 baino balio absolutu txikiagoa duen zenbaki arrunten kopuruari. Adibidez, 𝑛 = 10 denean, honako hau dugu:

Z(10) = #{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 19

𝑛 baino balio absolutu txikiagoa duten zenbaki osoen multzoan 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki arrunten proportzioa aztertu nahi badugu, lehen erabilitako arrazoiketa errepika dezakegu zenbaki bikoitiak eta arruntak konparatzeko:
Innovamat enters naturals

Enteros naturales innovamat

Lehen bezala, egiaztatuko dugu 𝑛 handitzen goazen neurrian, 𝑛 baino txikiagoak diren zenbaki arrunten kopurua zati 𝑛 baino txikiagoak diren eta balio absolutua duten zenbaki osoen kopurua egiten badugu, zatidura nahi adina hurbiltzen dela 1/2era.

𝑛 infinitura hurbiltzen den heinean berriro ere mugara hurbiltzen bagara, zenbaki arrunten dentsitate osoa zehaztu dezakegu: 1/2en baliokidea da.

Zenbaki arrunten multzoen barruko azpimultzoen dentsitateen ideia horiek garrantzi handiko matematikari askoren interesa piztu dute, hala nola Paul Erdös hungariarrarena (1913-1996, garai guztietako matematikari emankorrenetakotzat jotzen da), edo Terrence Tao australiarrarena (egungo matematikari garrantzitsuenetarikoa). Eta oraindik asko dago argitzeke gai horren inguruan.

Eta ondorioak?

Beraz, Cantorri esker zenbaki osoen multzoa zenbaki arrunten multzoa bezain handia dela esan dezakegun arren, probabilitate-argumentuak ere badauzkagu zenbaki arruntak zenbaki osoen erdia direla esateko. Agian atsekabetuta sentitzen zara galderak erantzun kategorikorik ez duelako, edo, agian, alderantziz, pozik zaude matematika zuk uste baino askoz mundu konplexuagoa delako, sormenez betea, eta ikusi duzulako galdera batek ez duela beti erantzun bakarra.

Izan ere, ez dago matematikaren adarrik erantzun gabeko galderarik ez duenik. Komunitate matematikoak galderak egiten ditu etengabe, eta horrela egiten du aurrera diziplina honek, egunetik egunera haziz.

Ez izan beldurrik gure ikasleek erantzuten ez dakigun galderak egiten badituzte; aitzitik, har ditzagun altxorra balira bezala. Erakuts diezaiegun oraindik erantzunik ez duten galderak egitea ezinbestekoa dela matematikaren mundua aberasteko. Ea Mariamak, jakin-min horrek bultzatuta, bere buruari galderak egiten jarraitu eta komunitate matematikoan bere aletxoa jartzen duen.

Ikasgelara eraman nahi duzu?

DBH1eko 14. saioan, “0aren bila” izenekoan, norberak bere buruari galderak egiteko gaitasuna lantzen dugu.

  • Marc Caelles

    Formazioz matematikaria da, eta matematikako irakaslea bokazioz. Egun, Sant Gregori ikastetxean matematikako irakaslea da. Irakasle lanetan ibiltzeaz gain, irakasleen formakuntzak ere egiten ditu, eta Innovamateko sail didaktikoan edukiak sortzen ditu.

Azken sarrerak

Eman izena Newsletterrean

Jaso gure berriak eta eduki guztiak zure helbide elektronikoan.