Escher: art i matemàtiques a l’aula

Una de les crítiques més habituals a les matemàtiques escolars tradicionals és que no incentiven prou la cerca de solucions creatives i imaginatives. De fet, molt sovint es percep la formalitat matemàtica com un enemic del pensament artístic. Són molts els qui relacionen l’assignatura amb algoritmes repetitius i avorrits i tenen el record d’haver solucionat els mateixos exercicis desenes de vegades en els feixucs quadernets d’estiu.

Tanmateix, aquesta divergència entre les matemàtiques i l’art és més aviat artificial i té a veure amb la manera com les hem après. La història ens presenta multitud d’artistes que han espremut les connexions entre totes dues disciplines, i són molts els matemàtics que consideren que la bellesa, la inspiració o la creativitat ocupen papers protagonistes en la seva feina.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) és, probablement, un dels exponents més representatius d’aquesta relació tan apassionant entre les matemàtiques i l’art. La seva obra és una col·lecció incessant de perspectives impossibles, jocs d’enginy, enrajolats infinits i provocacions geomètriques. Aquest estiu 2021, les Drassanes de Barcelona acullen una exposició que reuneix les obres més representatives de l’artista, i que romandrà oberta fins al 26 de setembre. La Laura Morera va visitar-la fa uns dies amb els seus fills i, a banda de recomanar-nos-la molt, ens ha cedit algunes fotos que hi va fer.

Fig.1: Cel i aigua, una de les xilografies més cèlebres d’Escher

En matemàtiques, diem que una figura enrajola (o tessel·la) el pla si, en encaixar-la amb còpies idèntiques de si mateixa —sense superposar-les ni deixar forats entre elles—, som capaços de recobrir un pla infinit. És cert que Escher es prenia certes llicències en els seus enrajolats, variant lleugerament cada iteració per obtenir una figura final ben diferent de l’original. Gràcies a aquestes transformacions, va construir les Metamorfosis, entre les quals hi ha la cèlebre xilografia Cel i aigua (Fig.1). Si bé aquestes composicions no són enrajolats estrictament parlant, la seva construcció geomètrica és molt interessant. Creieu que tots els polígons tenen la propietat d’enrajolar el pla? Quines característiques han de complir per fer-ho? Investiguem-ho!

Aquesta mostra representa una oportunitat excel·lent per estimular l’alumnat més creatiu i amb més sensibilitat artística o el que, per motius diversos, se sent menys atret per les matemàtiques. De tota l’obra d’Escher, els enrajolats són una bona opció per portar a l’aula, gràcies a la senzillesa geomètrica i l’espectacularitat visual dels resultats. 

Amb els més petits, pot ser una bona idea començar amb un polígon ben simple: el triangle. Si demanem als infants que dibuixin un triangle qualsevol, podrem convidar-los a comprovar si repeticions infinites d’aquell triangle enrajolen el pla. Aquest serà un bon moment per treballar les conjectures a l’aula: els infants descobriran que tots els triangles que hagin pogut dibuixar enrajolen el pla, però cal evidenciar que uns quants exemples no són suficients per afirmar que ho podem aconseguir amb qualsevol triangle. Algunes applets de GeoGebra, com aquesta, poden ajudar a visualitzar que qualsevol triangle enrajola, en efecte, el pla. Aquestes visualitzacions, però, serveixen per mostrar, no per demostrar. Si creiem que el nostre alumnat està preparat, podem fer un intent de desenvolupar un raonament lògic en gran grup que ens permeti justificar per què qualsevol triangle té la propietat d’enrajolar el pla i acostar-nos així a la demostració.

Hexàgon enrajolant el pla

En qualsevol cas, resulta molt productiu estendre el mateix exercici a polígons més complexos, en funció de l’edat i de les capacitats del nostre grup. Els quadrilàters també enrajolen el pla, tot i que la demostració formal pot ser massa feixuga per tractar-la a classe. Per polígons amb més costats, els enrajolats es tornen més complicats. De fet, de tots els polígons regulars, l’hexàgon és l’únic que enrajola el pla —deixant de banda els quadrilàters i els triangles, que ja hem vist.

El cas del pentàgon és especialment interessant, perquè ha estat objecte d’investigació recent per part de la comunitat matemàtica. Els primers pentàgons irregulars que enrajolen el pla no van ser descoberts fins a l’any 1918, pel matemàtic Karl Reinhardt, que en va definir cinc tipus. Durant mig segle, no se’n va trobar cap més; fins que, el 1968, el matemàtic Richard Kershner en va trobar tres de nous i va conjecturar que ja no n’hi havia més. El 1977 Marjorie Rice, una aficionada a les matemàtiques, va refutar la conjectura de Kershner, descobrint quatre pentàgons inèdits que tenien aquesta propietat. Progressivament, se’n van descobrir d’altres, fins a un total de 14, però ningú sabia amb certesa si ja no n’hi havia més o si, després de seguir-ne buscant, n’apareixerien de nous. 

Els 15 únics pentàgons que poden enrajolar el pla.

El misteri va romandre obert fins al 2015, quan Casey Mann, Jennifer McLoud i David Von Derau van trobar un quinzè pentàgon capaç d’enrajolar el pla i van demostrar, amb l’ajut d’un ordinador, que aquests quinze són tots els pentàgons possibles. Es tracta d’un resultat fascinant: de tota la infinitat de pentàgons que podem generar, només quinze —un nombre aparentment arbitrari— tenen la propietat d’enrajolar el pla. I tenim la certesa que mai no se’n trobarà cap més!

L’exemple del pentàgon capaç d’enrajolar el pla ens pot ajudar a transmetre una imatge de les matemàtiques com la d’una disciplina viva i en constant evolució. Si bé és cert que la demostració de Mann, McLoud i Von Derau és d’alt nivell, és molt interessant fer partícips els alumnes del misteri que van resoldre i utilitzar-ho per mostrar la manera com es conjectura i es demostra en matemàtiques.

I a vosaltres? Se us acudeixen altres activitats que us agradaria portar a l’aula a partir de l’obra d’Escher? Quines altres inspiracions utilitzeu a les vostres classes?

Pròximament, en una nova entrada al blog, us explicarem com podeu imitar el procediment constructiu d’Escher a classe per obtenir enrajolats espectaculars.