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Números enteros y naturales: ¿de cuáles hay más?

enters i naturals innovamat

Mariama es una alumna de 1º de ESO a la que le encantan las mates. Nos lo hizo saber en una carta que escribió a Sam, nuestra protagonista de la trama de secundaria. Lo que le decía en ella nos maravilló, a ver qué os parece:

Tengo una pregunta que creo que me podrías ayudar a resolver. ¿Qué crees qué hay más: números naturales o enteros? También me gustaría saber por qué

Recuerdo perfectamente la sensación que tuve al leer la carta y, especialmente, al leer la pregunta. Se me llenaron los ojos de lágrimas y me puse a gritar eufórico por las oficinas porque sentía la necesidad de compartir esa carta con todo el mundo. Cada vez que la leía se me ponía la piel de gallina. De algún modo, era una pequeña evidencia de que los docentes —e historias como El viaje de Sam— podemos generar el cambio que queremos en nuestros alumnos: ayudarlos a hacerse las preguntas necesarias para crecer, y guiarlos en el descubrimiento de las respuestas.

Una chica de doce años se estaba planteando una pregunta de relevancia crucial en la historia de las matemáticas. Y ahora, nosotros nos enfrentábamos a un gran reto: cómo dar respuesta a esta carta. Como dijo el gran matemático alemán Georg Cantor:

Esta entrada del blog nace inspirada por Mariama y por tantos otros alumnos como ella. Por lo que son capaces de generar cuando les damos la palabra.

El interés de la pregunta

La respuesta a la pregunta de Mariama puede parecer evidente, a simple vista. Si nos preguntamos cuántos números naturales hay, la respuesta que nos viene a la cabeza es «infinitos». Lo mismo ocurre si nos preguntamos cuántos números enteros hay, por lo que puede parecer obvio responder: «Hay la misma cantidad, infinitos». Pero, de algún modo, parece que tiene que haber más enteros que naturales, ¿no? Al fin y al cabo, los números naturales conforman solo una parte del conjunto de los números enteros. Si dejamos el cero de lado, cada número natural tiene otro entero opuesto (1, -1; 2, -2; etc.). Por tanto, hay algo que se nos escapa.

Y es que el infinito es un concepto extremadamente complejo y poco intuitivo, pero a la vez fascinante, como muy bien expone el documental Un viaje al infinito, dirigido por Jonathan Halperin y Drew Takahashi. De hecho, no fue hasta el siglo XIX cuando Georg Cantor fue capaz de empezar a poner luz a toda esta oscuridad. Interesado por el estudio del infinito, Cantor inició lo que se conoce como teoría de conjuntos, que ha sido (y es) imprescindible para el desarrollo de las matemáticas actuales. En palabras de otro gran matemático alemán, David Hilbert:

Hilbert también estaba muy interesado en el infinito y fue uno de los firmes defensores de la teoría de Cantor, que durante esa época tuvo muchos detractores por las ideas sumamente revolucionarias que aportaba. Con esa teoría, Cantor era capaz de formalizar que hay infinitos de diferentes tamaños. Pero, ¿qué ocurre con los enteros y los naturales? ¿Su infinito es del mismo tamaño o no? Para poder entender las ideas más elementales que Cantor formalizó sobre el infinito, conviene viajar en el tiempo unos cuantos miles de años atrás.

La raíz de todo: el conteo

Los primeros indicios de matemáticas surgen de la necesidad de contar. Ahora lo tenemos fácil. Para contar, usamos números. Pero antiguamente no usaban los números como los conocemos actualmente…

Nombres enters i naturals

Si un pastor quería llevar el control de la cantidad de ovejas del rebaño, solo tenía que tener tantas piedras como ovejas. Si quería sacar las ovejas a pastar, podía llevar el control de cuántas salían de la granja apartando una piedra por cada oveja que había salido. Y después, devolver las piedras una a una, a medida que las ovejas iban volviendo.

Así pues, la noción más fundamental del conteo consiste en comparar conjuntos de elementos a partir de establecer una correspondencia 1 a 1. Si al establecer la correspondencia 1 a 1 entre dos conjuntos A y B, por ejemplo, podemos emparejar cada elemento de A con un único elemento de B, pero quedan elementos de B sueltos, entonces el número de elementos de B es mayor. De hecho, un niño que no sabe contar probablemente seguirá esta estrategia para comparar dos conjuntos.

Cubets enters i naturals

«Hay más cubitos amarillos que verdes porque queda un cubito amarillo sin emparejar con uno verde».

Si, en cambio, podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos de los conjuntos —es decir, una correspondencia 1 a 1 para todos los elementos de ambos conjuntos—, sabemos que los dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.

Enteros vs. naturales

¿Qué ocurre, pues, cuando queremos comparar conjuntos con una cantidad infinita de elementos, como los enteros y los naturales? Seguimos esta misma idea de comparar los elementos 1 a 1: decimos que dos conjuntos son igual de grandes si podemos establecer una correspondencia biunívoca entre estos dos conjuntos. Consideramos el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros:

ℕ={0, 1, 2, 3…}       ℤ={…, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3…}

Quizás, a simple vista, parece que no podamos establecer esta correspondencia, pero si pensamos un poco, vemos que podemos asociar, de manera ordenada, los números enteros no negativos a los números naturales pares, y los números enteros negativos a los números naturales impares:

Números enteros y naturales

Como esta correspondencia es biunívoca, podemos decir que la cantidad de enteros es la misma que de naturales. Como formalizó Cantor, el infinito de los naturales es igual de grande que el infinito de los enteros. Y esto abre un mundo fascinante y extremadamente complejo por investigar, lleno de preguntas interesantísimas en las que ahora no entraremos. Pero quien se haya quedado con ganas y curiosidad de seguir explorando infinitos de tamaños diferentes y poder analizar otros conjuntos como los racionales, o el intervalo [0,1], puede pararse a leer el magnífico artículo «How Big Is Infinity?», de la revista Quanta Magazine.

Dicho esto, parecería que la cantidad de enteros y de naturales es la misma. Y lo mismo ocurriría si comparásemos la cantidad de números pares con la cantidad de números naturales. Pero hay algo que no termina de convencernos, ¿no? Intuitivamente, seguiríamos pensando que, de números pares, hay la mitad que de naturales, igual que de múltiplos de 5 hay una quinta parte que de naturales. Pues quizás conviene cambiar el punto de vista para encontrar un modo en el que las matemáticas den respuesta a la intuición.

Formalizando la intuición

Cuando nos alejamos de estos infinitos de la teoría de conjuntos y nos adentramos en la teoría de números, aparece en la literatura matemática la densidad natural: un concepto que intenta describir cuán grande es un subconjunto de números dentro del conjunto de los números naturales. Este concepto de densidad va muy ligado a ideas probabilísticas y cuadra mucho con lo que pensamos intuitivamente, pero también presenta algunos inconvenientes —en los que hoy no entraremos—.

Imaginamos que queremos analizar, para diferentes valores de 𝑛, la proporción de números pares menores que 𝑛 dentro del conjunto de los números naturales menores que 𝑛. Si llamamos P(𝑛) a la cantidad de números pares menores que 𝑛, y estudiamos el cociente P(𝑛) / 𝑛 para diferentes valores de 𝑛, obtenemos:

Enteros naturales

Matemáticas enteros y naturales

Números enteros y naturales

Como podemos ver, a medida que aumentamos 𝑛, el cociente de la cantidad de números pares menores que 𝑛 entre la cantidad de números naturales menores que 𝑛 se acerca tanto como queramos a 1/2.

Con esta idea de fondo, de ir al límite cuando 𝑛 tiende a infinito, se define la densidad natural de los números pares, que equivale a 1/2. Esta densidad se puede extender —aunque no siempre— para otros subconjuntos de los números naturales.

Pero Mariama no se preguntaba por subconjuntos de los naturales, sino que quería comparar los enteros con los naturales. Pese a que un concepto análogo a densidad entera no está muy extendido en la literatura, lo podríamos construir de manera similar, tomando como referencia el conjunto de los enteros en vez del conjunto de los naturales. Llamamos Z(𝑛) a la cantidad de números enteros de valor absoluto menor que 𝑛. Por ejemplo, para 𝑛 = 10, tenemos:

Z(10) = #{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 19

Si queremos estudiar la proporción de números naturales menores que 𝑛 dentro del conjunto de los enteros de valor absoluto menor que 𝑛, podemos replicar el razonamiento que hemos seguido antes para comparar pares y naturales:
Enteros valor absoluto

naturales y enteros matematicas

Como antes, también se puede comprobar que, a medida que aumentamos 𝑛, el cociente de la cantidad de números naturales menores que 𝑛 entre la cantidad de números enteros de valor absoluto menor que 𝑛 se acerca tanto como queramos a 1/2.

Si volvemos a ir al límite cuando 𝑛 tiende a infinito, podemos definir la densidad entera de los números naturales, que equivale a 1/2.

Estas ideas de densidades de subconjuntos en el conjunto de los números naturales han despertado el interés de muchos matemáticos de gran relevancia, como el húngaro Paul Erdös (1913-1996), considerado uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos; o el australiano Terrence Tao, uno de los matemáticos más importantes de la actualidad. Y aún quedan muchas incógnitas por descubrir alrededor de este tema.

¿Y las conclusiones?

Así pues, aunque es cierto que podemos decir —gracias a Cantor— que el conjunto de los números enteros es igual de grande que el conjunto de los números naturales, también tenemos argumentos probabilísticos para decir que hay la mitad de números naturales que de enteros. Quizás te sientes decepcionado por no tener una respuesta categórica a la pregunta planteada, o quizás al contrario, te sientes satisfecho de descubrir que las matemáticas son un mundo mucho más complejo y creativo del que te imaginabas y que no siempre hay una respuesta única a una pregunta planteada.

De hecho, no hay ninguna rama de las matemáticas que no tenga preguntas aún sin respuesta; preguntas que ha formulado (y sigue formulando) la comunidad matemática y que hacen que esta disciplina avance y crezca de manera inagotable.

No tengamos miedo a que nuestros alumnos hagan en el aula preguntas que no sabemos responder; al contrario, acojámoslas y valorémoslas como un gran tesoro. Mostrémosles que las matemáticas son un mundo que se enriquece con preguntas deseosas de encontrar respuesta. Ojalá podamos ayudar a que Mariama, movida por esta curiosidad, se siga planteando preguntas que aporten su granito de arena a la comunidad matemática.

¿Quieres llevarlo al aula?

En la Sesión 14: «En busca del 0», de 1º de ESO, trabajamos la capacidad de hacerse preguntas de los alumnos.

  • Marc Caelles

    Matemático de formación y profesor de matemáticas por vocación. Actualmente, es profesor de matemáticas en la Escuela Sant Gregori. Combina su tarea docente con la formación del profesorado y la creación de contenidos en el departamento didáctico de Innovamat.

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