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Escher: arte y matemáticas en el aula

Una de las críticas más habituales a las matemáticas escolares tradicionales es que no incentivan lo suficiente la búsqueda de soluciones creativas e imaginativas. De hecho, muy a menudo se percibe la formalidad matemática como un enemigo del pensamiento artístico. Son muchos quienes relacionan la asignatura con algoritmos repetitivos y aburridos y recuerdan haber resuelto los mismos ejercicios decenas de veces en los tediosos cuadernos de verano.

Sin embargo, esta divergencia entre las matemáticas y el arte es más bien artificial y tiene que ver con la manera en que las hemos aprendido. La historia nos presenta multitud de artistas que han exprimido las conexiones entre ambas disciplinas, y son muchos los matemáticos y matemáticas que consideran que la belleza, la inspiración o la creatividad ocupan papeles protagonistas en su trabajo.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) es, probablemente, uno de los exponentes más representativos de esta relación tan apasionante entre matemáticas y arte. Su obra es una colección incesante de perspectivas imposibles, juegos de ingenio, teselados infinitos y provocaciones geométricas. Este verano 2021, las Drassanes de Barcelona acogen una exposición que reúne las obras más representativas del artista, que permanecerá abierta hasta el 26 de septiembre. Laura Morera la visitó junto a sus hijos y, además de recomendárnosla encarecidamente, nos ha cedido algunas fotos que hizo.

Fig.1: Cielo y agua, una de las xilografías más célebres de Escher

En matemáticas, decimos que una figura tesela el plano si, al encajarla con copias idénticas de sí misma —sin superponerlas ni dejar espacios entre ellas—, somos capaces de recubrir un plano infinito. Es cierto que Escher se tomaba algunas licencias en sus teselados, variando ligeramente cada iteración para obtener una figura final totalmente distinta a la original. Gracias a estas transformaciones, construyó las Metamorfosis, entre las cuales se encuentra la célebre xilografía Cielo y agua (Fig.1). Si bien estas composiciones no son teselados en el sentido más estricto de la palabra, su construcción geométrica resulta interesante. ¿Creéis que todos los polígonos tienen la propiedad de teselar el plano? ¿Qué características deben cumplir para hacerlo? ¡Investiguémoslo!

Esta muestra supone una oportunidad excelente para estimular al alumnado más creativo y con más sensibilidad artística o al que, por motivos diversos, pueda sentirse menos atraído por las matemáticas. De toda la obra de Escher, los teseladosson una buena opción para llevar al aula, gracias a la sencillez geométrica y la espectacularidad visual de los resultados.

Con los más pequeños, puede ser una buena idea empezar con un polígono bien simple: el triángulo. Si les pedimos que dibujen un triángulo cualquiera, podremos invitarles a comprobar si infinitas repeticiones de este teselarían el plano. Este será un buen momento para trabajar las conjeturas en el aula: los niños y niñas descubrirán que todos los triángulos que hayan podido dibujar teselan el plano, pero debemos evidenciar que unos cuantos ejemplos no son suficientes para afirmar que puede lograrse con cualquier triángulo. Algunas applets de GeoGebra, como esta, pueden ayudar a visualizar que cualquier triángulo, en efecto, tesela el plano. Estas visualizaciones, sin embargo, sirven para mostrar, pero no para demostrar. Si creemos que nuestro alumnado está preparado, podemos intentar desarrollar un razonamiento lógico en gran grupo que nos permita justificar por qué cualquier triángulo tiene la propiedad de teselar el plano, acercándonos así a la demostración.

Hexágono teselando el plano

En cualquier caso, resulta muy productivo extender el mismo ejercicio a polígonos más complejos, en función de la edad y de las capacidades de nuestro grupo. Los cuadriláteros también teselan el plano, aunque la demostración formal puede ser demasiado tediosa para tratarse en clase. Para polígonos con más lados, los teselados se vuelven más complicados. De hecho, de todos los polígonos regulares, el hexágono es el único que tesela el plano —dejando de lado los cuadriláteros y los triángulos, que ya hemos visto.

El caso del pentágono es especialmente interesante porque ha sido objeto de investigación reciente por parte de la comunidad matemática. Los primeros pentágonos que teselan el plano no fueron descubiertos hasta el año 1918, por el matemático Karl Reinhardt, que definió cinco tipos. Durante medio siglo, no se encontró ninguno más; hasta que, en 1968, el matemático Richard Kershner encontró tres pentágonos nuevos y conjeturó que no había más. El 1977 Marjorie Rice, una aficionada a las matemáticas, refutó la conjetura de Kershner, descubriendo cuatro pentágonos inéditos que tenían esta propiedad. Progresivamente, otros pentágonos fueron descubiertos, hasta llegar a un total de 14, pero sin la certeza de si podía haber alguno más.

Los 15 únicos pentágonos que pueden teselar el plano.

El misterio permaneció abierto hasta que, en 2015, Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau encontraron el décimo-quinto pentágono capaz de teselar el plano y demostraron, con la ayuda de un ordenador, que estos eran todos los pentágonos posibles. Se trata de un resultado fascinante: de toda la infinidad de pentágonos que podemos generar, solo quince —un número aparentemente arbitrario— tienen la propiedad de teselar el plano. ¡y tenemos la certeza de que nunca se encontrará ninguno más!

El ejemplo del pentágono capaz de teselar el plano nos puede ayudar a transmitir una imagen de las matemáticas como la de una disciplina viva y en constante evolución. Aunque es cierto que la demostración de Mann, McLoud y Von Derau es de alto nivel, es muy interesante hacer partícipes a los alumnos y alumnas del misterio que resolvieron y utilizarlo para mostrar la manera como se conjetura y se demuestra en matemáticas.

¿Y a vosotros? ¿Se os ocurren otras actividades que os gustaría llevar al aula a partir de la obra de Escher? ¿Qué otras inspiraciones utilizáis en vuestras clases?

Próximamente, en una nueva entrada en el blog, os contaremos cómo podéis imitar el procedimiento constructivo de Escher en clase para obtener teselados espectaculares.

  • Fernando Abárzuza Ascasso

    Profesor de matemáticas e ingeniero de formación. Su tarea se centra en el diseño de actividades ricas y en la guionización de las historias narrativas que acompañan las Aventuras. Compagina este trabajo con la docencia de matemáticas en el aula de Secundaria.

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