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AcTRIvidad 7. Gusanos de Fibonacci coloreados

Innovamat,

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Si queréis saber qué son y cómo proponemos gestionar estas tareas, podéis consultar este enlace.

Contenidos más relevantes: Numeración y cálculo, sumas, pares, impares, patrones.

I. Planteemos y empecemos a pensar

¿Podemos encontrar gusanos que tengan las anillas pintadas de manera diferente?

Pretendemos que los niños y niñas observen el patrón que siguen todos los gusanos de Fibonacci y comprendan cómo se construye a partir de la suma:

31 | 4 | 35 | 39 | 74

Además, pretendemos que interioricen el hecho de que solo pintamos las anillas con números pares y que entiendan que la tarea consiste en encontrar otros gusanos de Fibonacci que sigan patrones de color diferentes (es decir, gusanos con una secuencia de impares y pares diferente de la del ejemplo).

Aunque no se pide explícitamente, desde la vertiente de la Resolución de problemas podemos valorar positivamente a aquellos niños y niñas que rastreen las opciones con voluntad de ser exhaustivos.

II. Comprobemos y sigamos pensando

¿Y si lo probamos con gusanos más grandes?

Pretendemos que los niños y niñas, con sus investigaciones o a partir de la pista que explica las 4 opciones en las que se pueden distribuir los números entre pares —P— e impares —I— (PPPPP, PIIPI, IPIIP e IIPI), se den cuenta de que puede haber gusanos con todas las anillas pintadas, con 2 anillas pintadas o con 1 anilla pintada. Y podemos valorar aún más positivamente a aquellos niños y niñas que se dan cuenta, además, que cuando hay 1 anilla pintada siempre es la central y que cuando hay 2 pueden ser la 1ª y la 4ª o la 2ª y la 5ª.

Además, una vez dada la pista, pretendemos que encuentren un ejemplo de gusano para cada una. Por ejemplo:

2 | 4 | 6 | 10 | 16

2 | 3 | 5 | 8 | 13

1 | 2 | 3 | 5 | 8

1 | 3 | 4 | 7 | 11

Hay infinitos gusanos de cada tipo, pero solo existen estas 4 maneras de repartir la paridad de los números, que se corresponden con las 4 maneras en las que puedes empezar a rellenar las anillas del gusano: PP, PI, IP o II.

Por otro lado, pretendemos que los niños y niñas observen que ninguna de las opciones incluye exactamente 3 números pares y, a partir de ahí, empiecen a investigar qué ocurre si nos fijamos en los gusanos de 6 anillas.

III. ¡Reflexionemos y vayamos más allá!

Pretendemos que los niños y niñas hayan descubierto que, de nuevo, a pesar de tener una anilla más, solo hay 4 maneras de completar los gusanos si nos fijamos en la paridad: PPPPPP, PIIPII, IPIIPI e IIPIIP. Esta vez, las opciones son o todas pintadas o bien 2 pintadas (la 1ª y la 4ª, la 2ª y la 5ª o la 3ª y la 6ª). Y que hayan encontrado, como mínimo, un ejemplo de cada:

2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26

2 | 1 | 3 | 4 | 7 | 11

1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13

1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18

Las preguntas que invitan a ir más allá buscan que investiguen y se acerquen a la justificación de por qué solo hay 4 maneras diferentes (porque todos los números dependen de los que colocamos en las dos primeras anillas, y solo hay 4 maneras diferentes de rellenarlas: PP, PI, IP o II). En cualquier caso, la secuencia, independientemente del número de anillas, siempre es o todos pares o en paquetes de 2 impares y 1 par, ordenados como sea. Para conseguir exactamente 3 anillas con números pares, tenemos varias opciones: