Els Simpson i el teorema de Fermat

Hola a totes i a tots!

Avui, a la nostra recomanació setmanal, us parlarem d’una sèrie de televisió que segur que coneixeu: els Simpson! Es tracta d’una de les sèries més exitoses i longeves de la televisió, amb trenta-dues temporades sense interrupcions!

Al llarg dels seus set-cents capítols trobarem moltes referències matemàtiques introduïdes per guionistes com David S. Cohen, Al Jean o Jeff Westbrook que poden passar desapercebudes fàcilment. Potser una de les “bromes matemàtiques” més interessants es troba amagada en el sisè capítol de la setena temporada, i està relacionada amb l’últim teorema de Fermat.

El coneixeu? Es tracta d’un dels misteris més estudiats des de la seva formulació, l’any 1637, pel matemàtic Pierre de Fermat. Descobrim-lo! 

Partirem de l’expressió

x+y=z.

Oi que podem trobar moltes ternes de nombres naturals que compleixin aquesta igualtat? Per exemple, 1+2=3; o 1+5=6. De fet, les opcions són infinites!
Ara canviem una mica l’expressió:

x^2 + y^2 = z^2.

Amb els tres nombres elevats al quadrat, segueixen existint infinites solucions naturals, però trobar-les ja no és tan evident. Algunes són 3^2 + 4^2 = 5^2 o bé 5^2 + 12^2 = 13^2. Les solucions a aquesta equació s’anomenen “ternes pitagòriques”, i han estat objecte d’estudi exhaustiu des de l’època dels babilonis! 

Fermat i molts altres matemàtics van intentar trobar solucions naturals a expressions en què, en comptes de fer-ho al quadrat, hi apareixien nombres elevats a 3, 4, 5, etc.

x^3 + y^3 = z^3

x^4 + y^4 = z^4

x^5 + y^5 = z^5

Però mai en van poder trobar cap! És a dir, per a exponents més grans que 2, l’expressió x^n + y^n = z^n no té cap solució pels nombres naturals. Aquesta va ser, precisament, l’última conjectura de Fermat, que va formular mentre llegia un tractat sobre Aritmètica escrit per Diofant. Al marge d’un dels paràgrafs, Fermat va enunciar la seva conjectura i va dir que, tot i que havia trobat una demostració sensacional,  “no tenia suficient espai al marge per escriure-la”. Una fanfarronada en tota regla! Perquè, de fet, la conjectura de Fermat va romandre oberta durant gairebé quatre-cents anys. Molts matemàtics van intentar resoldre-la, i no va ser fins al 1995 que el matemàtic Andrew Wiles va demostrar-la formalment.

Us estareu preguntant què té a veure aquest teorema amb els Simpson! Doncs bé, el 29 d’octubre del 1995, poc després que Andrew Wiles demostrés el teorema, Homer Simpson va estar a punt de topar-se amb un contraexemple; és a dir, de demostrar que la conjectura de Fermat era falsa! Es tracta del sisè capítol de la setena temporada, l’especial de Halloween titulat Casa de l’Arbre del Terror VI, en què Homer Simpson viatja de manera inesperada a la tercera dimensió. En un instant determinat, apareix l’equació següent:

1782^12 + 1841^12 = 1922^12.

Us ho imagineu? Si aquesta igualtat fos certa, els guionistes de la sèrie haurien invalidat la demostració de Wiles i haurien trobat un contraexemple a la conjectura de Fermat! Què us sembla si l’analitzem? D’una banda, calculem el costat esquerre: 

1782^12 + 1841’12 = 2,54121025 x 10^39

I, de l’altra…

1922^12 = 2,54121025 x 10^39

Semblen iguals, oi? Tots dos resultats són nombres enormes i la calculadora ens proporciona una aproximació en notació científica. Si els volem comparar bé, necessitarem avaluar més decimals.

1782^12 + 1841^12 = 2,541210258614589 x 10^39

1922^12 = 2,541210259314801 x 10^39

Ara sí! Ho veieu? Si fem servir una calculadora amb suficients posicions decimals, veiem que els dos resultats són relativament similars, però no iguals! En altres paraules: es tracta d’un quasi contraexemple, una broma matemàtica introduïda pels guionistes.

Aquesta és només una de les múltiples referències matemàtiques que podreu trobar al llarg de les trenta-dues temporades de la sèrie. El físic divulgador Simon Singh les ha recollit gairebé totes al llibre Los Simpson y las matemáticas, un text interessant, entretingut i fàcil de llegir. Singh també té altres llibres de divulgació matemàtica; en concret, un de relacionat amb la conjectura que acabem de veure, titulat L’enigma de Fermat. En definitiva: si gaudiu de les matemàtiques o teniu ganes d’aprendre’n, no us perdeu cap de les seves lectures! I si el que us ve de gust és riure… Llavors els Simpson us seran d’utilitat; amb matemàtiques, o sense!