Skip to content

Com avaluar a la classe de matemàtiques?

Què, quan i com avaluar a classe de matemàtiques

Per molts docents, i encara més alumnes, l’avaluació és un malson. Aquest neguit és fruit, entre altres motius, d’una concepció esbiaixada que equipara l’avaluació amb el judici de «posar notes». Avaluar és molt més que fer proves i posar notes: hauria de ser un procés reflexiu que afavoreixi l’aprenentatge i proporcioni satisfacció tant a l’alumne com al mestre.

Per això és vital que els docents en parlem, que compartim neguits i també estratègies i eines, que discutim com avaluar, quan avaluar i, sobretot, per què cal avaluar. En aquesta sèrie d’articles que avui comencem, plantejarem totes aquestes qüestions, compartirem reflexions, explicarem experiències d’aula i explorarem exemples de produccions d’infants reals per abordar un tema tan complex com l’avaluació des de diversos punts de vista.

Què entenem per avaluar?

Quan es parla d’avaluació, sovint es barregen les seves dues finalitats principals:

  1. Avaluació formativa i formadora: l’avaluació esdevé un mitjà per regular els aprenentatges, identificar encerts, dificultats, errors i trobar maneres de progressar. Aquesta informació pot arribar a l’alumne en forma de retorn per part del docent o a través d’un company. En tots dos casos, parlem d’avaluació formativa. Alhora, també esperem que l’alumne reflexioni sobre el seu propi procés d’aprenentatge i desenvolupi la capacitat d’autoregular-se; això és l’avaluació formadora.
  2. Avaluació qualificadora: l’avaluació esdevé un mitjà per comprovar què s’ha après. És l’accepció d’avaluació a què ens referim quan pensem a posar les notes per al butlletí. Les qualificacions també permeten classificar (per exemple, per accedir a la universitat) o certificar que s’ha adquirit un nivell (per exemple, en exàmens oficials d’idiomes).

avaluació matemàtiques innovamatMalgrat que, per a la majoria d’alumnes i docents, i per a la societat en general, la principal preocupació és la qualificació, un procés d’avaluació vertaderament paradigmàtic ha de contemplar totes dues finalitats i potenciar especialment la primera. Penseu en el GPS del vostre telèfon: no només us diu on sou i on voleu arribar, sinó que també us detalla pas a pas com arribar-hi. Fins i tot, en cas que no li feu cas i us acabeu perdent, és capaç d’adaptar-se i recalcular el camí. L’avaluació ha de ser com un GPS: ha de dir als alumnes on són i on els cal arribar, sí, però també els ha de mostrar el camí i guiar-los durant tot el procés.

Així ho explica Neus Sanmartí, professora de la Universitat Autònoma de Barcelona i experta referent en avaluació del Departament, en el més que recomanable document Avaluar és aprendre (2020):

En el desplegament del currículum per competències, l’avaluació té una funció reguladora de tot el procés d’aprenentatge, atès que ha de permetre decidir i adaptar les estratègies pedagògiques a les característiques de l’alumnat i constatar el seu progrés a mesura que avança en els aprenentatges. Ha de permetre al professorat contrastar el grau d’assoliment per part de l’alumnat de les competències bàsiques i ajustar, si escau, els processos didàctics. Per a l’alumnat, l’avaluació també esdevé un element essencial per aprendre, ja que els alumnes que constaten el seu progrés i saben regular-se estan més preparats per avançar en els aprenentatges i per seguir aprenent. Per tant, cal cercar estratègies per compartir amb l’alumnat el procés avaluador i fer-lo partícip i protagonista del seu procés d’aprenentatge, i per compartir amb la resta del professorat i les famílies la coherència dels criteris d’avaluació aplicats en els àmbits, els projectes i la resta d’activitats escolars.

Jo Boaler, una de les expertes en educació matemàtica més influents del món i professora de la Universitat de Stanford, ho descriu així (2020):

Un problema que hi ha és que molts docents fan servir l’avaluació sumativa com a estratègia formativa; és a dir, donen als estudiants una qualificació final quan encara estan aprenent els continguts. En les setmanes i els mesos que els alumnes estan aprenent en un curs, és molt important que passin per avaluacions formatives, no sumatives. En l’avaluació per a l’aprenentatge (AFL, per les sigles en anglès d’Assessment for Learning) s’ha de considerar on són ara els estudiants, on han d’arribar a estar els estudiants i maneres de salvar aquesta distància.

L’AFL ajuda els professors a fer que la seva instrucció sigui més efectiva i els alumnes a aprendre, tant com sigui possible. Els professors que fan servir l’AFL passen menys temps dient-los als alumnes quins són els seus èxits i més temps capacitant-se perquè agafin les regnes de les seves vies d’aprenentatge.

Amb aquesta concepció en ment, i amb voluntat de simplificar, entenem que l’avaluació consta de tres fases, com descriuen Fernández i Morales (2022). La dificultat rau a respondre les preguntes que ens planteja cada fase:

Què avaluem en matemàtiques?

Tradicionalment, els docents de matemàtiques posàvem el focus en l’assoliment dels continguts: Sap sumar? Sap què és un triangle isòsceles? Des de principis dels anys 2000, però, la majoria d’experts en didàctica de les matemàtiques i cada vegada més institucions aposten per un aprenentatge (i, per tant, una avaluació) que també contempli, a més dels continguts, els processos de la competència matemàtica.

Niss i Højgaard (2019), els pares del marc teòric de PISA en l’àmbit de matemàtiques, ho expliquen així (en anglès a l’original):

Per descomptat, quan ens centrem en la competència, no pretenem descartar la importància ni el paper de la matèria matemàtica, inclosos els fets, els resultats i els mètodes, en el desenvolupament i la possessió de la competència i el coneixement matemàtics. Això seria absurd, igual que ho seria descartar el vocabulari, l’ortografia, la gramàtica i la sintaxi com a elements significatius de la competència lingüística. Tanmateix, de la mateixa manera que seria absurd reduir la competència lingüística al simple coneixement del vocabulari, l’ortografia, la gramàtica i la sintaxi, seria absurd reduir la capacitat d’exercir i promulgar les matemàtiques a l’enumeració dels conceptes, termes, teoremes, regles i procediments matemàtics que cal conèixer. El que és important no és només el que se sap, sinó com se sap, i el que es pot fer amb el que se sap.

Quins són, doncs, aquests processos? En funció del territori, trobem diferents aproximacions a la competència matemàtica, però la majoria es basen en les idees desenvolupades pel National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), l’associació de docents de matemàtiques dels EUA, i les investigacions que se’n deriven. A Innovamat, més enllà de les possibles adaptacions territorials, apostem per un marc global que té en compte els quatre processos següents, molt alineats amb el que proposa l’NCTM o els experts del marc PISA (Niss i Højgaard, 2019):

Resolució de problemes:

Un problema és allò que requereix una estratègia de resolució. Aquest eix ens parla dels passos que hem de seguir per resoldre problemes. També és l’eix troncal i el que ens proporciona un millor ambient competencial.

resolució de problemes

 

Raonament i prova

Aquest eix parla de destreses que parteixen de l’anàlisi de la situació per formular i provar conjectures, fer deduccions raonades i, sobretot, argumentar qualsevol afirmació que fem a l’aula de matemàtiques.

raonament i prova

Connexions

Aquest eix inclou totes les relacions que trobem o establim entre idees i conceptes. Distingim dues grans classes de connexions:

  • Connexions dins de les pròpies matemàtiques.
  • Connexions entre les matemàtiques i la realitat quotidiana.

connexions

Comunicació i representació

Aquest eix parla de les destreses relacionades amb la transmissió d’informació matemàtica, ja sigui com a emissors o com a receptors. Distingim fins a cinc maneres de comunicar o representar un concepte:

comunicació i representació

Aquests són els quatre processos fonamentals. Es poden desgranar i arribar a concretar unes destreses o subcompetències dins de cada procés, com fan alguns currículums oficials. Aquestes destreses, inferibles a partir de les infografies anteriors, són útils per entendre millor els processos, però en la nostra experiència d’aula, són massa detallades per avaluar-les una per una: afegeixen una complexitat a l’avaluació difícil de gestionar en una aula amb més de 25 alumnes. Per tant, pensem que és millor centrar els esforços i el temps limitat del qual disposem al fet d’avaluar amb profunditat aquests quatre processos generals, que cal dominar i saber relacionar amb continguts concrets, que també cal avaluar.

El que podem avaluar pel que fa a la resolució de problemes, per exemple, és si l’alumne és capaç de ser exhaustiu i trobar totes les solucions en una activitat que involucri el pensament additiu en el rang 1-20. No té sentit deslligar els processos del contingut, perquè gairebé sempre en són condició necessària. A l’inrevés, en canvi, com de fet ja es feia en enfocaments més tradicionals, sí que és possible: podem avaluar el grau d’adquisició d’un contingut independentment dels processos involucrats. Un bon exemple d’això són els informes de progrés que genera la nostra app, amb detalls sobre el domini dels continguts, alertes sobre les mancances de cada alumne i recomanacions per adaptar la tasca docent en conseqüència.

Finalment, hi ha un tercer component en l’aprenentatge de les matemàtiques (i, de fet, de qualsevol àmbit escolar) que han tractat autors com la mateixa Boaler (2020) o Johnson (2022) i que també cal tenir en compte: les habilitats socioemocionals. Actituds com la iniciativa, la perseverança, l’acceptació de l’error o la capacitat de cooperar, entre altres, són imprescindibles en l’activitat matemàtica, s’han de treballar a l’aula i s’han d’avaluar. De fet, un problema de naturalesa socioemocional pot provocar impediments de base que impossibilitin l’aprenentatge dels continguts o dels processos. Per aquest motiu, hem d’estar molt pendents d’aquesta tercera capa i tenir en compte que, de vegades, les dificultats d’aprenentatge no són de caràcter conceptual o competencial, sinó emocional.

El més important de tot, en definitiva, és que tinguem clar què volem avaluar en el nostre alumnat i que actuem de manera coherent amb això. Al final, les decisions que prenguem, per molt fonamentades que estiguin, sempre estaran esbiaixades per la nostra visió. Traguem-nos pressió: avaluar és una tasca subjectiva en essència, que depèn tant de l’observador com de l’observat. Ni tan sols unes proves tan estandarditzades com les PAU són objectives: la tria de quines preguntes apareixen a la prova és subjectiva; la puntuació i la ponderació de cada pregunta és subjectiva; fins i tot la correcció és subjectiva perquè, poc o molt, depèn de cada corrector i del moment en què ho corregeixi (qualsevol que s’hagi enfrontat a una pila d’exàmens sap que no es corregeix igual el primer de la pila que l’últim), etc. Compte! Admetre aquesta subjectivitat ha de servir als docents que pateixen per si no estan sent prou objectius (és impossible!), però en cap cas implica que puguem avaluar a la babalà ni li resta valor al fet de trobar evidències que fonamentin les nostres impressions, ans al contrari: som els docents, els experts en la matèria, els qui podem triar com recollir evidències de la millor manera en cada moment i decidir què li convé a cada alumne per afavorir el seu progrés.

Quan avaluem?

Sempre. Cada vegada que resolem un dubte, cada cop que guiem un alumne, cada vegada que fem una pregunta, etc., estem avaluant. Hem d’aprofitar que ens passem tot el curs amb aquests alumnes per anar recollint evidències de diversos tipus contínuament. Per avaluar de manera ideal, però, hauríem d’escoltar, observar i recollir evidències de l’alumnat mentre fa totes i cadascuna de les tasques, cada dia del curs i al llarg de totes les sessions. Evidentment, això és impossible en una aula amb més de 25 alumnes.

Penseu en un alumne de la vostra classe d’enguany. El teniu? Segurament us sentiu molt més còmodes determinant si l’alumne sap sumar, multiplicar o resoldre equacions de segon grau, per exemple. En canvi, ens costa molt més saber si l’alumne és competent en el procés de Raonament i prova. Per què? Perquè com a docents dominem molt més la suma, la multiplicació o les equacions de segon grau que no pas el procés de Raonament i prova. Per això a Innovamat sempre hem defensat que el primer pas és la formació docent. Només quan siguem capaços de pensar en els processos de manera integrada i natural, serem capaços d’avaluar-los amb soltesa i comoditat, en el dia a dia. De fet, no cal esperar a una sessió d’avaluació concreta per recollir evidències: ha de ser una actitud contínua. Algunes vegades, les evidències seran físiques i romandran (des de respostes al quadern o a la llibreta fins a proves escrites, si s’escau), i d’altres vegades seran efímeres (des d’una intervenció oral o un gest fins a una representació construïda amb material manipulatiu).

avaluació matemàtiques competencialsEn la nostra experiència, treballar d’aquesta manera redueix l’angoixa de l’alumnat davant les proves, perquè no s’ho juguen tot a una carta. I també redueix la pressió que sentim els docents quan arriba el període d’avaluacions. Sabem, però, que alguns docents senten que una manera continuada d’avaluar no és justa perquè no es fixa en el mateix en tots els alumnes ni al mateix moment. Bé, en primer lloc, cal recordar la metàfora del GPS: volem una avaluació que acompanyi i guiï durant tot el viatge, no un simple examen localitzador que ens digui on som i prou. Només d’aquesta manera podem mesurar el progrés de cada alumne. I, en segon lloc, la recollida d’evidències contínua, si està ben planificada, admet formats diversos i afavoreix que tots els alumnes tinguin moltes oportunitats de mostrar el seu progrés pel que fa a continguts, processos i habilitats socioemocionals (les tres capes són importants!). De fet, una d’aquestes evidències pot ser també una prova avaluativa escrita tradicional, és clar. Ruiz (2021) explica que les proves avaluatives tradicionals poden ajudar a aprendre perquè es basen en l’evocació: si es plantegen adequadament, poden ser una eina molt bona per aprendre. Ara bé, l’autor també alerta que si aquestes proves tenen un pes massa gran en les qualificacions acadèmiques dels alumnes, el nivell d’ansietat que poden provocar pot eclipsar els beneficis didàctics de la prova. Com passa sovint, la clau rau a trobar l’equilibri i no conformar-nos només amb proves escrites.

A partir d’aquí, cada docent ha de provar, experimentar i trobar el que millor li funcioni amb els seus alumnes. Algunes idees? Evidentment, la millor és que a l’aula hi hagi dos docents alhora. Així, un pot centrar-se a avaluar. Entenem, però, que això malauradament no passa en la majoria d’escoles, així que hem d’explorar altres opcions. Si és el primer cop que avaluem processos, per exemple, una aproximació prudent pot ser triar cada setmana un dels quatre processos i marcar-nos com a objectiu recollir-ne un parell d’evidències de cada alumne a partir del que passi a l’aula. Aquí, la selecció de la tasca és rellevant, perquè una bona tria ens pot facilitar aquesta recollida. En la tria de la seqüència d’activitats incloses a la proposta Innovamat, per exemple, a més del contingut curricular, hem procurat fomentar moments que ens ajudin a observar el desenvolupament dels processos. De fet, les guies didàctiques estan farcides de consells formatius en aquest sentit. Tot plegat serveix per fer-ne un retorn oportú a l’alumne, per anar modificant la nostra tasca docent i per fonamentar les decisions qualificadores, que podem complementar amb alguna prova específica, els informes de l’App Innovamat i la correcció dels quaderns o llibretes. El curs següent, quan dominem més els processos, podríem provar d’avaluar-los tots quatre alhora. I, si el volum d’alumnes és massa gran, podríem centrar-nos cada setmana a recollir evidències sobre un terç de l’alumnat. Així, al cap de tres setmanes hauríem recorregut tota la classe i tornaríem a començar.

Quines eines proposem per recollir evidències?

eines per avaluarSembla clar que la recollida d’evidències és la pedra angular d’una avaluació útil per a tothom. En funció del curs, unes eines són més adients que altres. Des d’Innovamat no us donarem una recepta màgica amb unes rúbriques d’avaluació universals, perquè de moment no existeixen. El que us oferim són moltes oportunitats de formació docent i un ecosistema viu i creixent d’eines que siguin prou flexibles perquè cadascú de vosaltres les adapteu a la vostra realitat. Algunes d’aquestes eines són les tasques específiques per avaluar continguts i processos dins de cada curs; l’app de pràctica reproductiva, on consolidem els continguts; indicacions a la guia didàctica sobre quines observacions avaluatives podem fer en cada moment de la sessió; quaderns de registre amb un solucionari també farcit d’indicacions avaluatives; etc.

Com dèiem al principi, aquest és el primer d’una sèrie d’articles amb reflexions sobre l’avaluació. Hi explorarem diverses d’aquestes eines a partir d’activitats concretes i respostes i produccions d’alumnes reals, avaluades per nosaltres. Ens hi acompanyeu?

  • Boaler, J. (2020). Mentalidades matemáticas: Cómo liberar el potencial de los estudiantes mediante las matemáticas creativas, mensajes inspiradores y una enseñanza innovadora (1.). Nirvana Libros, S. A. de C. V.
  • Fernández, J., y Morales, M. (2022). La evaluación formativa. Estrategias eficaces para regular el aprendizaje. Ediciones SM.
  • Johnson, D. W. (2022). La evaluación en el aprendizaje cooperativo: cómo mejorar la evaluación individual a través del grupo. SM (CESMA).
  • NCTM (2000): Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA. NCTM.
  • Niss, M., y Højgaard, T. (2019). Mathematical competencies revisited. Educational Studies in Mathematics, 102(1), 9-28. https://doi.org/10.1007/s10649-019-09903-9
  • Ruiz, H. (2021). ¿Cómo aprendemos?: Una aproximación científica al aprendizaje y la enseñanza (Educación basada en evidencias). Editorial Graó.
  • Sanmartí, N. (2020) Avaluar és aprendre: L’avaluació per millorar els aprenentatges de l’alumnat en el marc del currículum per competències. Direcció General de Currículum i Personalització. Departament d’Educació. Barcelona.

  • Albert Vilalta

    És enginyer de formació i professor de matemàtiques per vocació. Actualment, és professor a la Facultat d’Educació de la Universitat Autònoma de Barcelona i està acabant un doctorat en didàctica de les matemàtiques. Combina la seva tasca universitària amb formacions de professorat i, sobretot, amb responsabilitats de recerca, comunicació i conceptualització al departament didàctic d’Innovamat.

Entrades recents

Subscriu-te a la Newsletter

Rep totes les nostres novetats i continguts exclusivament al teu email.